Номер 12, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 12, страница 166.

Условие.

12. Что называют определённым интегралом от функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Определённый интеграл от функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ — это фундаментальное понятие математического анализа, которое можно определить несколькими способами, наиболее известными из которых являются геометрический и через предел интегральных сумм.

Геометрический смысл

Для непрерывной и неотрицательной функции $f(x)$ (то есть $f(x) \ge 0$) на отрезке $[a; b]$, её определённый интеграл $\int_a^b f(x) dx$ численно равен площади криволинейной трапеции. Это фигура, ограниченная графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс (прямая $y=0$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

В общем случае, когда функция $f(x)$ может принимать и отрицательные значения, определённый интеграл представляет собой алгебраическую (знаковую) сумму площадей: площади фигур, расположенных над осью абсцисс, учитываются со знаком «+», а площади фигур под осью абсцисс — со знаком «–».

Формальное определение (интеграл Римана)

Строгое определение определённого интеграла даётся как предел интегральных сумм. Процесс построения выглядит следующим образом:

1. Отрезок интегрирования $[a; b]$ разбивается на $n$ элементарных (частичных) отрезков точками $a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b$. Длина $i$-го отрезка обозначается как $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$.
2. На каждом элементарном отрезке $[x_{i-1}; x_i]$ произвольно выбирается точка $c_i$.
3. Составляется интегральная сумма (сумма Римана) $S_n$, которая представляет собой сумму площадей прямоугольников с основаниями $\Delta x_i$ и высотами $f(c_i)$: $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i $$
4. Определённый интеграл является пределом этой суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков разбиения стремится к нулю ($\max \Delta x_i \to 0$, что равносильно устремлению числа отрезков $n$ к бесконечности).

Таким образом, определённым интегралом от функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ называется число: $$ \int_a^b f(x) dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i $$ если этот предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка $[a; b]$ и от выбора точек $c_i$. Если такой предел существует, функция $f(x)$ называется интегрируемой по Риману на отрезке $[a; b]$. Все непрерывные на отрезке функции являются интегрируемыми.

Вычисление через формулу Ньютона-Лейбница

На практике для вычисления определённых интегралов редко используется определение через предел. Вместо этого применяется основная теорема анализа — формула Ньютона-Лейбница, которая связывает вычисление определённого интеграла с нахождением первообразной.

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$, а функция $F(x)$ является её первообразной на этом отрезке (то есть $F'(x) = f(x)$), то определённый интеграл вычисляется по формуле: $$ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $$ Эту разность также обозначают как $F(x) \Big|_a^b$.

Ответ: Определённым интегралом функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ называют предел её интегральных сумм $\sum f(c_i) \Delta x_i$, когда длина наибольшего элементарного отрезка разбиения стремится к нулю. Геометрически для неотрицательной функции он равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$. Вычисляется он, как правило, по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — любая первообразная для функции $f(x)$.