Номер 11, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 11, страница 165.

Условие.

11. Какую сумму называют интегральной суммой функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Интегральная сумма для функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$ — это конструкция, которая является основой для определения определенного интеграла. Процесс ее построения состоит из нескольких шагов:

1. Разбиение отрезка. Отрезок $[a; b]$ разбивают на $n$ произвольных (не обязательно равных по длине) частичных отрезков с помощью точек $a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b$. Такое множество точек называется разбиением отрезка. Длину каждого $i$-го частичного отрезка $[x_{i-1}, x_i]$ обозначают как $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$.

2. Выбор промежуточных точек. В каждом из полученных частичных отрезков $[x_{i-1}, x_i]$ выбирают произвольную точку $\xi_i$ (так что $x_{i-1} \le \xi_i \le x_i$).

3. Составление суммы. Вычисляют значения функции в каждой из выбранных точек $\xi_i$ и составляют сумму произведений этих значений на длины соответствующих частичных отрезков.

Полученная сумма и называется интегральной суммой (или суммой Римана) для функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$. Она зависит как от способа разбиения отрезка на части, так и от выбора точек $\xi_i$ в них.

Математически интегральная сумма записывается формулой:
$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i = f(\xi_1)\Delta x_1 + f(\xi_2)\Delta x_2 + \dots + f(\xi_n)\Delta x_n$

Геометрически, если функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[a; b]$, то каждое слагаемое $f(\xi_i) \Delta x_i$ равно площади прямоугольника с основанием $\Delta x_i$ и высотой $f(\xi_i)$. Вся интегральная сумма представляет собой площадь ступенчатой фигуры, которая аппроксимирует площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$.

Ответ: Интегральной суммой для функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ называют сумму вида $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$, где отрезок $[a; b]$ разбит точками $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ на частичные отрезки $[x_{i-1}, x_i]$, $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ — длина $i$-го частичного отрезка, а $\xi_i$ — произвольная точка, принадлежащая отрезку $[x_{i-1}, x_i]$.