Номер 3, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Проверь себя! - номер 3, страница 166.

Условие.

3. Вычислить:

1) $\int_{1}^{2} 2x^2 dx;$

2) $\int_{2}^{3} \frac{dx}{x^3};$

3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx;$

4) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_1^2 2x^2 dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = 2x^2$.
$F(x) = \int 2x^2 dx = 2 \int x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{2x^3}{3}$.
Теперь вычислим значение интеграла:
$\int_1^2 2x^2 dx = \left. \frac{2x^3}{3} \right|_1^2 = \frac{2 \cdot 2^3}{3} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3} = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$.
Ответ: $\frac{14}{3}$.

2) Вычислим интеграл $\int_2^3 \frac{dx}{x^3}$.
Сначала найдем первообразную для $f(x) = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$.
$F(x) = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_2^3 \frac{dx}{x^3} = \left. -\frac{1}{2x^2} \right|_2^3 = \left(-\frac{1}{2 \cdot 3^2}\right) - \left(-\frac{1}{2 \cdot 2^2}\right) = -\frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{18} + \frac{1}{8}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 72:
$-\frac{1 \cdot 4}{18 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 9}{8 \cdot 9} = -\frac{4}{72} + \frac{9}{72} = \frac{5}{72}$.
Ответ: $\frac{5}{72}$.

3) Вычислим интеграл $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx$.
Первообразная для функции $f(x) = \cos 2x$ равна $F(x) = \frac{1}{2} \sin 2x$.
Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx = \left. \frac{1}{2} \sin 2x \right|_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 0) = \frac{1}{2} \sin(\pi) - \frac{1}{2} \sin(0) = \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0.

4) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x dx$.
Первообразная для функции $f(x) = \sin x$ равна $F(x) = -\cos x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x dx = \left. -\cos x \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(\frac{\pi}{2})) = -(-1) - (-0) = 1 - 0 = 1$.
Ответ: 1.