Номер 9, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 9, страница 165.

Условие.

9. Привести пример фигуры, площадь которой можно вычислить по формуле $S = \int_a^b (f_2(x) - f_1(x)) dx$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Формула $S = \int_{a}^{b} (f_2(x) - f_1(x)) \,dx$ используется для вычисления площади фигуры (криволинейной трапеции), которая ограничена двумя непрерывными функциями и двумя вертикальными прямыми. В этой формуле:

• $y = f_2(x)$ — это функция, график которой является верхней границей фигуры.
• $y = f_1(x)$ — это функция, график которой является нижней границей фигуры.
• $x = a$ и $x = b$ — это вертикальные прямые, которые являются левой и правой границами фигуры.

Ключевым условием для применения этой формулы является то, что на всем отрезке $[a, b]$ должно выполняться неравенство $f_2(x) \geq f_1(x)$.

Пример фигуры:

Рассмотрим фигуру, ограниченную параболой $y = x^2$ и прямой $y = x + 2$.

1. Определение функций и пределов интегрирования.

Сначала нам нужно найти точки пересечения графиков, чтобы определить пределы интегрирования $a$ и $b$. Для этого приравняем выражения для $y$:

$x^2 = x + 2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Таким образом, пределы интегрирования: $a = -1$ и $b = 2$.

2. Проверка условия $f_2(x) \geq f_1(x)$.

Теперь определим, какая из функций является верхней ($f_2(x)$), а какая — нижней ($f_1(x)$) на отрезке $[-1, 2]$. Для этого возьмем любую точку из интервала $(-1, 2)$, например, $x = 0$:

• Для параболы: $y = 0^2 = 0$
• Для прямой: $y = 0 + 2 = 2$

Поскольку $2 > 0$, на отрезке $[-1, 2]$ график прямой $y = x + 2$ лежит выше графика параболы $y = x^2$.

Следовательно, мы можем назначить:

• $f_2(x) = x + 2$ (верхняя граница)
• $f_1(x) = x^2$ (нижняя граница)

3. Формула для вычисления площади.

Площадь описанной фигуры вычисляется по интегралу:

$S = \int_{-1}^{2} ((x+2) - x^2) \,dx$

Ответ: Примером фигуры является область, ограниченная снизу параболой $y = x^2$ и сверху прямой $y = x + 2$. Площадь этой фигуры вычисляется как интеграл от разности этих функций в пределах от $x = -1$ до $x = 2$.