Номер 3, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Вопросы к главе IV - номер 3, страница 165.

Условие.

3. Записать формулы первообразных для функций

$y = x^p (p \ne -1)$, $y = \frac{1}{x} (x > 0, x < 0)$, $y = e^x$, $y = \sin x$, $y = \cos x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

y = x^p (p ≠ -1)
Для нахождения первообразной степенной функции $y = x^p$ используется стандартная формула из таблицы первообразных: первообразной для функции $x^n$ является функция $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ при условии, что $n \neq -1$. В данном случае показатель степени равен $p$. Применяя эту формулу, мы получаем, что любая первообразная для функции $y = x^p$ имеет вид $F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Проверим результат дифференцированием:
$F'(x) = \left(\frac{x^{p+1}}{p+1} + C\right)' = \frac{1}{p+1} \cdot (x^{p+1})' + C' = \frac{1}{p+1} \cdot (p+1)x^{(p+1)-1} + 0 = x^p$.
Так как производная $F'(x)$ равна исходной функции $y=x^p$, формула найдена верно. Ограничение $p \neq -1$ необходимо, чтобы избежать деления на ноль.
Ответ: $F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C$.

y = 1/x (x > 0, x < 0)
Данная функция является частным случаем степенной функции $y=x^p$ при $p=-1$. В этом случае формула из предыдущего пункта неприменима. Первообразную для функции $y=1/x$ нужно искать отдельно.
Известно, что производная натурального логарифма $(\ln x)' = 1/x$. Однако функция $\ln x$ определена только для $x > 0$.
1. На промежутке $x > 0$: первообразной для $1/x$ является $\ln x$. Общий вид всех первообразных: $F(x) = \ln x + C$.
2. На промежутке $x < 0$: так как $x$ отрицателен, выражение $\ln x$ не определено. Рассмотрим функцию $\ln(-x)$. В этом случае $-x > 0$, поэтому логарифм определен. Найдем ее производную по правилу дифференцирования сложной функции: $(\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$. Следовательно, для $x < 0$ первообразной является $\ln(-x)$. Общий вид: $F(x) = \ln(-x) + C$.
Обе эти формулы можно объединить в одну, используя знак модуля: $F(x) = \ln|x| + C$. Эта формула является общей для любого промежутка, не содержащего точку $x=0$.
Ответ: Для $x > 0$ формула первообразной $F(x) = \ln(x) + C$. Для $x < 0$ формула первообразной $F(x) = \ln(-x) + C$.

y = e^x
Показательная функция $y=e^x$ обладает уникальным свойством: ее производная равна самой функции, то есть $(e^x)' = e^x$. Это означает, что функция $e^x$ является своей же первообразной. Таким образом, чтобы найти все первообразные, достаточно добавить к функции произвольную постоянную $C$.
Ответ: $F(x) = e^x + C$.

y = sin x
Для нахождения первообразной функции $y = \sin x$ необходимо найти функцию, производная которой равна $\sin x$. Из таблицы производных известно, что $( \cos x )' = -\sin x$. Чтобы избавиться от знака "минус", мы можем взять функцию $-\cos x$. Найдем ее производную: $(-\cos x)' = -(\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$. Таким образом, первообразной для $\sin x$ является $-\cos x$. Общий вид всех первообразных получается добавлением константы $C$.
Ответ: $F(x) = -\cos x + C$.

y = cos x
Для нахождения первообразной функции $y = \cos x$ ищется функция, производная которой равна $\cos x$. Из таблицы производных известно, что $(\sin x)' = \cos x$. Следовательно, функция $\sin x$ является первообразной для $\cos x$. Общий вид всех первообразных получается добавлением константы $C$.
Ответ: $F(x) = \sin x + C$.