Номер 401, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 401, страница 164.

Условие.

401. Скорость впитывания воды в почву в течение первых 2–3 часов определяется формулой $V(t)=V_1 t^{-\alpha}$, где $t$ — время в минутах, $V_1=1,8 \text{ см/мин}$ — скорость впитывания воды в конце первой минуты, $\alpha$ — коэффициент затухания скорости впитывания (для большинства почв $0,3 < \alpha < 0,8$). Найти толщину $h$ слоя воды, впитывающейся в почву за 2 часа, если $\alpha = 0,4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Скорость впитывания воды в почву $V(t)$ является производной от толщины слоя впитавшейся воды $h(t)$ по времени $t$. То есть, $V(t) = \frac{dh}{dt}$. Чтобы найти общую толщину слоя воды $h$, впитавшейся за определенный промежуток времени, необходимо проинтегрировать функцию скорости $V(t)$ по этому промежутку времени.

По условию задачи дана формула для скорости впитывания: $V(t) = V_1 t^{-\alpha}$

Нам нужно найти толщину слоя воды $h$, впитавшейся в почву за 2 часа. Исходные данные:

• Скорость впитывания в конце первой минуты: $V_1 = 1.8$ см/мин
• Коэффициент затухания: $\alpha = 0.4$
• Промежуток времени: 2 часа.

Поскольку в формуле время $t$ измеряется в минутах, необходимо перевести 2 часа в минуты: $T = 2 \text{ часа} = 2 \times 60 = 120 \text{ минут}$

Толщина слоя $h$ вычисляется как определенный интеграл от скорости $V(t)$ в пределах от $t=0$ до $t=120$ минут: $h = \int_{0}^{120} V(t) \,dt = \int_{0}^{120} V_1 t^{-\alpha} \,dt$

Подставим известные значения $V_1$ и $\alpha$: $h = \int_{0}^{120} 1.8 \cdot t^{-0.4} \,dt$

Вычислим интеграл, используя формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $h = 1.8 \left[ \frac{t^{-0.4+1}}{-0.4+1} \right]_{0}^{120} = 1.8 \left[ \frac{t^{0.6}}{0.6} \right]_{0}^{120}$

Упростим выражение: $h = \frac{1.8}{0.6} \left[ t^{0.6} \right]_{0}^{120} = 3 \left[ t^{0.6} \right]_{0}^{120}$

Теперь подставим пределы интегрирования: $h = 3 \cdot (120^{0.6} - 0^{0.6})$

Так как $0^{0.6} = 0$, получаем: $h = 3 \cdot 120^{0.6}$

Вычислим значение: $120^{0.6} = 120^{3/5} \approx 15.157$

$h \approx 3 \cdot 15.157 \approx 45.471$ см

Округлим результат до сотых.

Ответ: Толщина слоя воды, впитавшейся в почву за 2 часа, составляет приблизительно $45.47$ см.