Номер 397, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Упражнения к главе IV - номер 397, страница 164.

Условие.

397. Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y=x^2-2x+2$, касательной к ней, проходящей через точку пересечения параболы с осью $Oy$, и прямой $x=1$;

2) гиперболой $y=\frac{4}{x}$, касательной к ней, проходящей через точку с абсциссой $x=2$, и прямыми $y=0$, $x=6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Найдём площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 2x + 2$, касательной к ней, проходящей через точку пересечения параболы с осью Oy, и прямой $x=1$.

Сначала найдём точку пересечения параболы с осью Oy. Уравнение оси Oy - это $x=0$. Подставив $x=0$ в уравнение параболы, получим:
$y(0) = 0^2 - 2(0) + 2 = 2$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(0, 2)$.

Теперь найдём уравнение касательной к параболе в этой точке. Уравнение касательной к кривой $y=f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.
В нашем случае $f(x) = x^2 - 2x + 2$ и $x_0 = 0$.
Найдём производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 2x + 2)' = 2x - 2$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 2(0) - 2 = -2$. Это угловой коэффициент касательной.
Подставим известные значения в уравнение касательной:
$y - 2 = -2(x - 0)$
$y = -2x + 2$.

Искомая фигура ограничена сверху параболой $y = x^2 - 2x + 2$, снизу касательной $y = -2x + 2$, и прямыми $x=0$ (ось Oy) и $x=1$.
Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций в заданных пределах интегрирования от $x=0$ до $x=1$:
$S = \int_{0}^{1} ((x^2 - 2x + 2) - (-2x + 2)) dx$
$S = \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 2 + 2x - 2) dx = \int_{0}^{1} x^2 dx$
Вычисляем интеграл:
$S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

2) Найдём площадь фигуры, ограниченной гиперболой $y = \frac{4}{x}$, касательной к ней, проходящей через точку с абсциссой $x=2$, и прямыми $y=0$, $x=6$.

Сначала найдём точку касания и уравнение касательной. Абсцисса точки касания $x_0 = 2$.
Найдём ординату точки касания, подставив $x_0=2$ в уравнение гиперболы:
$y_0 = \frac{4}{2} = 2$.
Точка касания: $(2, 2)$.

Найдём уравнение касательной. Функция $f(x) = \frac{4}{x} = 4x^{-1}$.
Её производная:
$f'(x) = -4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}$.
Угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 2$:
$f'(2) = -\frac{4}{2^2} = -1$.
Уравнение касательной:
$y - 2 = -1(x - 2)$
$y = -x + 2 + 2$
$y = -x + 4$.

Теперь определим границы фигуры. Она ограничена четырьмя кривыми: гиперболой $y = 4/x$, касательной $y = -x + 4$, осью абсцисс $y=0$ и вертикальной прямой $x=6$.
Найдём точки пересечения этих линий, чтобы понять форму фигуры:

• Касательная и гипербола пересекаются в точке касания $(2, 2)$.
• Касательная $y=-x+4$ пересекает ось $y=0$ в точке, где $-x+4=0$, то есть при $x=4$. Точка пересечения: $(4, 0)$.
• Прямая $x=6$ пересекает ось $y=0$ в точке $(6, 0)$.
• Прямая $x=6$ пересекает гиперболу $y=4/x$ в точке $(6, 4/6) = (6, 2/3)$.

Таким образом, фигура представляет собой замкнутую область, ограниченную отрезком касательной от $(2,2)$ до $(4,0)$, отрезком оси Ox от $(4,0)$ до $(6,0)$, отрезком прямой $x=6$ от $(6,0)$ до $(6, 2/3)$ и дугой гиперболы от $(6, 2/3)$ до $(2,2)$.

Площадь этой фигуры можно вычислить как разность площадей двух криволинейных трапеций: площади под гиперболой на отрезке $[2, 6]$ и площади под касательной на отрезке $[2, 4]$ (это треугольник).
Площадь под гиперболой от $x=2$ до $x=6$:
$S_1 = \int_{2}^{6} \frac{4}{x} dx = 4[\ln|x|]_{2}^{6} = 4(\ln 6 - \ln 2) = 4\ln\left(\frac{6}{2}\right) = 4\ln 3$.
Площадь под касательной от $x=2$ до $x=4$:
$S_2 = \int_{2}^{4} (-x + 4) dx = \left[-\frac{x^2}{2} + 4x\right]_{2}^{4} = \left(-\frac{4^2}{2} + 4 \cdot 4\right) - \left(-\frac{2^2}{2} + 4 \cdot 2\right) = (-8 + 16) - (-2 + 8) = 8 - 6 = 2$.
Искомая площадь $S$ равна разности этих площадей:
$S = S_1 - S_2 = 4\ln 3 - 2$.

Ответ: $4\ln 3 - 2$