Номер 392, страница 163 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Упражнения к главе IV - номер 392, страница 163.

Условие.

Вычислить интеграл (392–394).

392. 1) $\int_{-1}^{2} 2 dx;$

2) $\int_{-2}^{2} (3-x) dx;$

3) $\int_{1}^{3} (x^2 - 2x) dx;$

4) $\int_{-1}^{1} (2x - 3x^2) dx;$

5) $\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx;$

6) $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^3};$

7) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx;$

8) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{-1}^{2} 2 dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразная для функции $f(x) = 2$ есть $F(x) = 2x$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{-1}^{2} 2 dx = [2x]_{-1}^{2} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot (-1) = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6$.

Ответ: 6

2)

Для вычисления интеграла $\int_{-2}^{2} (3-x) dx$ найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 3 - x$.

Первообразная $F(x) = \int (3-x) dx = 3x - \frac{x^2}{2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{2} (3-x) dx = [3x - \frac{x^2}{2}]_{-2}^{2} = (3 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}) - (3 \cdot (-2) - \frac{(-2)^2}{2}) = (6 - \frac{4}{2}) - (-6 - \frac{4}{2}) = (6-2) - (-6-2) = 4 - (-8) = 12$.

Ответ: 12

3)

Для вычисления интеграла $\int_{1}^{3} (x^2 - 2x) dx$ найдем первообразную для $f(x) = x^2 - 2x$.

Первообразная $F(x) = \int (x^2 - 2x) dx = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{3} - x^2$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{3} (x^2 - 2x) dx = [\frac{x^3}{3} - x^2]_{1}^{3} = (\frac{3^3}{3} - 3^2) - (\frac{1^3}{3} - 1^2) = (\frac{27}{3} - 9) - (\frac{1}{3} - 1) = (9-9) - (-\frac{2}{3}) = 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

4)

Для вычисления интеграла $\int_{-1}^{1} (2x - 3x^2) dx$ найдем первообразную для $f(x) = 2x - 3x^2$.

Первообразная $F(x) = \int (2x - 3x^2) dx = 2\frac{x^2}{2} - 3\frac{x^3}{3} = x^2 - x^3$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-1}^{1} (2x - 3x^2) dx = [x^2 - x^3]_{-1}^{1} = (1^2 - 1^3) - ((-1)^2 - (-1)^3) = (1 - 1) - (1 - (-1)) = 0 - (1+1) = -2$.

Ответ: -2

5)

Для вычисления интеграла $\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx$ представим подынтегральную функцию в виде $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} dx = [\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8} = \frac{3}{4}(8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4}(1^{\frac{4}{3}}) = \frac{3}{4}(\sqrt[3]{8})^4 - \frac{3}{4}(1) = \frac{3}{4}(2^4) - \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} = 12 - \frac{3}{4} = \frac{48-3}{4} = \frac{45}{4}$.

Ответ: $\frac{45}{4}$

6)

Для вычисления интеграла $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^3}$ представим подынтегральную функцию в виде $f(x) = x^{-3}$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^3} = [-\frac{1}{2x^2}]_{1}^{2} = (-\frac{1}{2 \cdot 2^2}) - (-\frac{1}{2 \cdot 1^2}) = -\frac{1}{8} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8} + \frac{4}{8} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$

7)

Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx$ найдем первообразную для $f(x) = \sin x$.

Первообразная $F(x) = \int \sin x dx = -\cos x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0)) = -0 - (-1) = 1$.

Ответ: 1

8)

Для вычисления интеграла $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$ найдем первообразную для $f(x) = \cos x$.

Первообразная $F(x) = \int \cos x dx = \sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2