Номер 387, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 6. Простейшие дифференциальные уравнения. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 387, страница 162.

Условие.

387. 1) $y' = 3\sin x;$

2) $y' = \cos x - \sin x;$

3) $y' = 4x^3 - 2\cos x;$

4) $y' = 3x^2 - 4e^{2x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дано дифференциальное уравнение $y' = 3\sin x$. Чтобы найти функцию $y$, необходимо найти первообразную для правой части уравнения, то есть вычислить неопределенный интеграл.
$y = \int y' \,dx = \int 3\sin x \,dx$
Выносим константу за знак интеграла:
$y = 3 \int \sin x \,dx$
Используем табличный интеграл $\int \sin x \,dx = -\cos x$.
$y = 3(-\cos x) + C = -3\cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.
Ответ: $y = -3\cos x + C$

2) Дано дифференциальное уравнение $y' = \cos x - \sin x$. Находим первообразную для правой части.
$y = \int (\cos x - \sin x) \,dx$
Интеграл разности равен разности интегралов:
$y = \int \cos x \,dx - \int \sin x \,dx$
Используем табличные интегралы $\int \cos x \,dx = \sin x$ и $\int \sin x \,dx = -\cos x$.
$y = \sin x - (-\cos x) + C = \sin x + \cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $y = \sin x + \cos x + C$

3) Дано дифференциальное уравнение $y' = 4x^3 - 2\cos x$. Находим первообразную.
$y = \int (4x^3 - 2\cos x) \,dx$
Используя свойство линейности интеграла:
$y = \int 4x^3 \,dx - \int 2\cos x \,dx = 4 \int x^3 \,dx - 2 \int \cos x \,dx$
Используем табличные интегралы для степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ и для косинуса $\int \cos x \,dx = \sin x$.
$y = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 2\sin x + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 2\sin x + C$
$y = x^4 - 2\sin x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $y = x^4 - 2\sin x + C$

4) Дано дифференциальное уравнение $y' = 3x^2 - 4e^{2x}$. Находим первообразную.
$y = \int (3x^2 - 4e^{2x}) \,dx$
Используя свойство линейности интеграла:
$y = \int 3x^2 \,dx - \int 4e^{2x} \,dx = 3 \int x^2 \,dx - 4 \int e^{2x} \,dx$
Используем табличный интеграл для степенной функции $\int x^2 \,dx = \frac{x^3}{3}$ и для экспоненциальной функции $\int e^{kx} \,dx = \frac{1}{k}e^{kx}$.
$y = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + C$
$y = x^3 - 2e^{2x} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $y = x^3 - 2e^{2x} + C$