Номер 383, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 4. Вычисление площадей фигур с помощью интегралов - номер 383, страница 158.

Условие.

383. Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y = -x^2 + 4x - 3$ и прямой, проходящей через точки $(1; 0)$ и $(0; -3);$

2) параболой $y = -x^2$ и прямой $y = -2;$

3) параболами $y = 1 - x^2$ и $y = x^2 - 1;$

4) графиком функции $y = x^3$ и прямыми $y = 1$ и $x = -2;$

5) прямой $y = x$ и графиком функции $y = x^3, -1 \le x \le 0;$

6) параболами $y = x^2 - 2x$ и $y = -x^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки $(1; 0)$ и $(0; -3)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$.
Подставляя координаты точки $(0; -3)$, получаем: $-3 = k \cdot 0 + b$, откуда $b = -3$.
Подставляя координаты точки $(1; 0)$ и найденное значение $b$, получаем: $0 = k \cdot 1 - 3$, откуда $k = 3$.
Итак, уравнение прямой: $y = 3x - 3$.

Теперь найдем точки пересечения параболы $y = -x^2 + 4x - 3$ и прямой $y = 3x - 3$, приравняв их уравнения:
$-x^2 + 4x - 3 = 3x - 3$
$-x^2 + x = 0$
$x(1 - x) = 0$
Корни уравнения, которые являются пределами интегрирования: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

На интервале $(0, 1)$ парабола $y = -x^2 + 4x - 3$ находится выше прямой $y = 3x - 3$ (например, при $x=0.5$ имеем $y_{параболы} = -0.25+2-3 = -1.25$ и $y_{прямой} = 1.5-3 = -1.5$).
Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_0^1 ((-x^2 + 4x - 3) - (3x - 3)) dx = \int_0^1 (-x^2 + x) dx$
$S = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \left(-\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2}\right) - \left(-\frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2}\right) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

2) Найдем точки пересечения параболы $y = -x^2$ и прямой $y = -2$:
$-x^2 = -2$
$x^2 = 2$
Пределы интегрирования: $x_1 = -\sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt{2}$.

На интервале $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ парабола $y = -x^2$ (значения от $-2$ до $0$) находится выше прямой $y = -2$.
Площадь фигуры: $S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^2 - (-2)) dx = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2 - x^2) dx$
Так как подынтегральная функция $2-x^2$ четная, можно вычислить интеграл как:
$S = 2 \int_0^{\sqrt{2}} (2 - x^2) dx = 2 \left[2x - \frac{x^3}{3}\right]_0^{\sqrt{2}} = 2 \left( (2\sqrt{2} - \frac{(\sqrt{2})^3}{3}) - 0 \right)$
$S = 2 \left(2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = 2 \left(\frac{6\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{3}\right) = 2 \left(\frac{4\sqrt{2}}{3}\right) = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{8\sqrt{2}}{3}$.

3) Найдем точки пересечения парабол $y = 1 - x^2$ и $y = x^2 - 1$:
$1 - x^2 = x^2 - 1$
$2 = 2x^2$
$x^2 = 1$
Пределы интегрирования: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

На интервале $(-1, 1)$ парабола $y = 1 - x^2$ (ветви вниз, вершина в $(0,1)$) находится выше параболы $y = x^2 - 1$ (ветви вверх, вершина в $(0,-1)$).
Площадь фигуры:
$S = \int_{-1}^{1} ((1 - x^2) - (x^2 - 1)) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx$
Подынтегральная функция $2-2x^2$ четная, поэтому:
$S = 2 \int_0^1 (2 - 2x^2) dx = 2 \left[2x - \frac{2x^3}{3}\right]_0^1 = 2 \left( (2 \cdot 1 - \frac{2 \cdot 1^3}{3}) - 0 \right)$
$S = 2 \left(2 - \frac{2}{3}\right) = 2 \left(\frac{4}{3}\right) = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

4) Фигура ограничена графиком $y = x^3$, прямой $y=1$ и прямой $x=-2$.
Найдем точки пересечения границ:
$y = x^3$ и $y=1 \implies x^3 = 1 \implies x=1$.
$y = x^3$ и $x=-2 \implies y = (-2)^3 = -8$.
$y=1$ и $x=-2$ пересекаются в точке $(-2, 1)$.
Фигура ограничена слева прямой $x=-2$, справа - точкой пересечения $x=1$, сверху - прямой $y=1$, снизу - кривой $y=x^3$.
Пределы интегрирования по оси $x$: от $-2$ до $1$. Верхняя функция $y_{верх} = 1$, нижняя функция $y_{нижн} = x^3$.
Площадь фигуры:
$S = \int_{-2}^{1} (1 - x^3) dx = \left[x - \frac{x^4}{4}\right]_{-2}^{1}$
$S = \left(1 - \frac{1^4}{4}\right) - \left(-2 - \frac{(-2)^4}{4}\right) = \left(1 - \frac{1}{4}\right) - \left(-2 - \frac{16}{4}\right)$
$S = \frac{3}{4} - (-2 - 4) = \frac{3}{4} - (-6) = \frac{3}{4} + 6 = \frac{3+24}{4} = \frac{27}{4}$.

Ответ: $\frac{27}{4}$.

5) Фигура ограничена прямой $y = x$ и графиком $y = x^3$ на отрезке $-1 \le x \le 0$.
Пределы интегрирования заданы условием: от $-1$ до $0$.
На интервале $(-1, 0)$ определим, какая функция больше. Возьмем тестовую точку $x = -0.5$:
$y_{прямая} = -0.5$
$y_{график} = (-0.5)^3 = -0.125$
Поскольку $-0.125 > -0.5$, на данном интервале график функции $y=x^3$ лежит выше прямой $y=x$.
Площадь фигуры:
$S = \int_{-1}^{0} (x^3 - x) dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0}$
$S = \left(\frac{0^4}{4} - \frac{0^2}{2}\right) - \left(\frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^2}{2}\right) = 0 - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

6) Найдем точки пересечения парабол $y = x^2 - 2x$ и $y = -x^2$:
$x^2 - 2x = -x^2$
$2x^2 - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
Пределы интегрирования: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

На интервале $(0, 1)$ определим, какая функция больше. Возьмем тестовую точку $x = 0.5$:
$y_1 = (0.5)^2 - 2(0.5) = 0.25 - 1 = -0.75$
$y_2 = -(0.5)^2 = -0.25$
Поскольку $-0.25 > -0.75$, парабола $y = -x^2$ находится выше параболы $y = x^2 - 2x$.
Площадь фигуры:
$S = \int_{0}^{1} (-x^2 - (x^2 - 2x)) dx = \int_{0}^{1} (-2x^2 + 2x) dx$
$S = \left[-\frac{2x^3}{3} + x^2\right]_0^1 = \left(-\frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1^2\right) - 0 = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.