Номер 376, страница 157 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 4. Вычисление площадей фигур с помощью интегралов - номер 376, страница 157.

Условие.

376. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ox и параболой:

1) $y = 1 - x^2$;

2) $y = -x^2 + 4x - 3$;

3) $y = -x(x + 3)$;

4) $y = (1 - x)(x + 2)$;

5) $y = (x + 2)(3 - x)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой и осью Ox, необходимо вычислить определенный интеграл от функции, задающей параболу. Пределами интегрирования являются абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox.

Общая формула для площади $S$ фигуры, ограниченной кривой $y = f(x)$ и осью Ox на отрезке $[a, b]$, где $f(x)$ не меняет знак, такова: $S = \int_a^b |f(x)| \,dx$. Во всех предложенных задачах парабола пересекает ось Ox в двух точках, и между этими точками $f(x) \ge 0$, поэтому площадь вычисляется по формуле $S = \int_a^b f(x) \,dx$.

1) $y = 1 - x^2$;

Сначала найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $y = 0$ :
$1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.
Это наши пределы интегрирования. Ветви параболы $y = 1 - x^2$ направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен), поэтому на интервале $(-1, 1)$ значения функции положительны.
Площадь фигуры вычисляется как интеграл:
$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \,dx$
Найдем первообразную: $F(x) = x - \frac{x^3}{3}$.
Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left(x - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

2) $y = -x^2 + 4x - 3$;

Найдем точки пересечения с осью Ox:
$-x^2 + 4x - 3 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Это пределы интегрирования.
Ветви параболы направлены вниз, значит на интервале $(1, 3)$ функция положительна.
Вычисляем площадь:
$S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \,dx$
Первообразная: $F(x) = -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - 3x = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x$.
Вычисляем интеграл:
$S = \left(-\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x\right)\Big|_{1}^{3} = \left(-\frac{3^3}{3} + 2(3^2) - 3(3)\right) - \left(-\frac{1^3}{3} + 2(1^2) - 3(1)\right)$
$S = (-9 + 18 - 9) - \left(-\frac{1}{3} + 2 - 3\right) = 0 - \left(-\frac{1}{3} - 1\right) = 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

3) $y = -x(x + 3)$;

Раскроем скобки: $y = -x^2 - 3x$.
Найдем точки пересечения с осью Ox: $-x(x + 3) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -3$.
Пределы интегрирования от $-3$ до $0$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому на интервале $(-3, 0)$ функция положительна.
Вычисляем площадь:
$S = \int_{-3}^{0} (-x^2 - 3x) \,dx$
Первообразная: $F(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}$.
Вычисляем интеграл:
$S = \left(-\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\right)\Big|_{-3}^{0} = \left(0\right) - \left(-\frac{(-3)^3}{3} - \frac{3(-3)^2}{2}\right) = - \left(-\frac{-27}{3} - \frac{27}{2}\right) = - \left(9 - \frac{27}{2}\right) = - \left(\frac{18 - 27}{2}\right) = - \left(-\frac{9}{2}\right) = \frac{9}{2}$.
Ответ: $\frac{9}{2}$.

4) $y = (1 - x)(x + 2)$;

Раскроем скобки: $y = x + 2 - x^2 - 2x = -x^2 - x + 2$.
Найдем точки пересечения с осью Ox: $(1 - x)(x + 2) = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = -2$.
Пределы интегрирования от $-2$ до $1$. Ветви параболы ($a = -1 < 0$) направлены вниз, на интервале $(-2, 1)$ функция положительна.
Вычисляем площадь:
$S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \,dx$
Первообразная: $F(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x$.
Вычисляем интеграл:
$S = \left(-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x\right)\Big|_{-2}^{1} = \left(-\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2(1)\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2)\right)$
$S = \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) - \left(\frac{8}{3} - 2 - 4\right) = \left(-\frac{5}{6} + \frac{12}{6}\right) - \left(\frac{8}{3} - 6\right) = \frac{7}{6} - \left(\frac{8 - 18}{3}\right) = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.
Ответ: $\frac{9}{2}$.

5) $y = (x + 2)(3 - x)$;

Раскроем скобки: $y = 3x - x^2 + 6 - 2x = -x^2 + x + 6$.
Найдем точки пересечения с осью Ox: $(x + 2)(3 - x) = 0 \implies x_1 = -2, x_2 = 3$.
Пределы интегрирования от $-2$ до $3$. Ветви параболы ($a = -1 < 0$) направлены вниз, на интервале $(-2, 3)$ функция положительна.
Вычисляем площадь:
$S = \int_{-2}^{3} (-x^2 + x + 6) \,dx$
Первообразная: $F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x$.
Вычисляем интеграл:
$S = \left(-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x\right)\Big|_{-2}^{3} = \left(-\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6(3)\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} + 6(-2)\right)$
$S = \left(-9 + \frac{9}{2} + 18\right) - \left(\frac{8}{3} + 2 - 12\right) = \left(9 + \frac{9}{2}\right) - \left(\frac{8}{3} - 10\right) = \frac{27}{2} - \left(\frac{8 - 30}{3}\right) = \frac{27}{2} - \left(-\frac{22}{3}\right) = \frac{27}{2} + \frac{22}{3} = \frac{81 + 44}{6} = \frac{125}{6}$.
Ответ: $\frac{125}{6}$.