Номер 379, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 4. Вычисление площадей фигур с помощью интегралов - номер 379, страница 158.

Условие.

379. Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y=9-x^2$, прямой $y=7-x$ и осью $Ox;

2) параболой $y=x(4-x)$, прямой $y=3$ и осью $Ox;

3) параболами $y=(x-2)^2$, $y=(x+2)^2$, прямой $y=1$ и осью $Ox;

4) параболами $y=(x+2)^2$, $y=(x-3)^2$, осью $Ox$ и прямой, проходящей через точки $(-1; 1)$ и $(1; 4);

5) графиком функции $y=\sin x$, прямой $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и отрезком $[0; \pi]$ оси $Ox;

6) графиком функции $y=\cos x$, прямой $y=\frac{1}{2}$ и отрезком $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ оси $Ox.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Фигура ограничена параболой $y = 9 - x^2$, прямой $y = 7 - x$ и осью Ox ($y = 0$).
Сначала найдем точки пересечения данных линий.
1. Пересечение параболы и прямой: $9 - x^2 = 7 - x \implies x^2 - x - 2 = 0$. Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения: $(-1, 8)$ и $(2, 5)$.
2. Пересечение параболы с осью Ox: $9 - x^2 = 0 \implies x = \pm 3$. Точки: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.
3. Пересечение прямой с осью Ox: $7 - x = 0 \implies x = 7$. Точка: $(7, 0)$.
Фигура расположена над осью Ox. Верхняя граница фигуры состоит из двух частей: дуги параболы и отрезка прямой. Точка, в которой парабола сменяется прямой, — это их точка пересечения $(2, 5)$. Таким образом, на отрезке $[-3, 2]$ фигура ограничена сверху параболой $y = 9 - x^2$, а на отрезке $[2, 7]$ — прямой $y = 7 - x$. Площадь фигуры $S$ можно найти как сумму площадей двух криволинейных трапеций:
$S = \int_{-3}^{2} (9 - x^2) \,dx + \int_{2}^{7} (7 - x) \,dx$.
Вычисляем первый интеграл: $\int_{-3}^{2} (9 - x^2) \,dx = \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{2} = \left(9(2) - \frac{2^3}{3}\right) - \left(9(-3) - \frac{(-3)^3}{3}\right) = \left(18 - \frac{8}{3}\right) - (-27 + 9) = \frac{46}{3} - (-18) = \frac{46}{3} + 18 = \frac{46+54}{3} = \frac{100}{3}$.
Вычисляем второй интеграл: $\int_{2}^{7} (7 - x) \,dx = \left[ 7x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{7} = \left(7(7) - \frac{7^2}{2}\right) - \left(7(2) - \frac{2^2}{2}\right) = \left(49 - \frac{49}{2}\right) - (14 - 2) = \frac{49}{2} - 12 = \frac{49-24}{2} = \frac{25}{2}$.
Общая площадь: $S = \frac{100}{3} + \frac{25}{2} = \frac{200 + 75}{6} = \frac{275}{6}$.
Ответ: $S = \frac{275}{6}$.

2) Фигура ограничена параболой $y = x(4 - x) = 4x - x^2$, прямой $y = 3$ и осью Ox ($y = 0$).
1. Найдем точки пересечения параболы с осью Ox: $4x - x^2 = 0 \implies x(4-x)=0 \implies x=0, x=4$.
2. Найдем точки пересечения параболы с прямой $y=3$: $4x - x^2 = 3 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3)=0 \implies x=1, x=3$.
Вершина параболы находится в точке $x = -\frac{4}{2(-1)} = 2$, $y(2) = 4(2) - 2^2 = 4$. Так как вершина (2, 4) находится выше прямой $y=3$, прямая $y=3$ пересекает параболу.
Фигура ограничена сверху функцией $f(x) = \min(4x - x^2, 3)$ и снизу осью Ox. На отрезках $[0, 1]$ и $[3, 4]$ верхняя граница — парабола $y = 4x - x^2$. На отрезке $[1, 3]$ верхняя граница — прямая $y = 3$.
Площадь $S$ вычисляется как сумма трех интегралов: $S = \int_{0}^{1} (4x - x^2) \,dx + \int_{1}^{3} 3 \,dx + \int_{3}^{4} (4x - x^2) \,dx$.
Вычисляем интегралы: $\int (4x - x^2) \,dx = 2x^2 - \frac{x^3}{3} + C$.
$\int_{0}^{1} (4x - x^2) \,dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left(2 - \frac{1}{3}\right) - 0 = \frac{5}{3}$.
$\int_{1}^{3} 3 \,dx = [3x]_{1}^{3} = 3(3) - 3(1) = 6$.
$\int_{3}^{4} (4x - x^2) \,dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{3}^{4} = \left(2(16) - \frac{64}{3}\right) - \left(2(9) - \frac{27}{3}\right) = \left(32 - \frac{64}{3}\right) - (18-9) = \frac{32}{3} - 9 = \frac{5}{3}$.
Общая площадь: $S = \frac{5}{3} + 6 + \frac{5}{3} = \frac{10}{3} + 6 = \frac{10+18}{3} = \frac{28}{3}$.
Ответ: $S = \frac{28}{3}$.

3) Фигура ограничена параболами $y = (x-2)^2$, $y = (x+2)^2$, прямой $y=1$ и осью Ox ($y=0$).
Парабола $y=(x-2)^2$ имеет вершину в точке $(2,0)$. Парабола $y=(x+2)^2$ имеет вершину в точке $(-2,0)$.
Найдем точки пересечения парабол с прямой $y=1$:
$(x-2)^2 = 1 \implies x-2 = \pm 1 \implies x=1, x=3$.
$(x+2)^2 = 1 \implies x+2 = \pm 1 \implies x=-1, x=-3$.
Фигура ограничена снизу осью Ox ($y=0$). Верхняя граница фигуры состоит из трех частей: - на отрезке $[-2, -1]$ — дуга параболы $y=(x+2)^2$; - на отрезке $[-1, 1]$ — отрезок прямой $y=1$; - на отрезке $[1, 2]$ — дуга параболы $y=(x-2)^2$.
Площадь $S$ можно вычислить как сумму трех интегралов: $S = \int_{-2}^{-1} (x+2)^2 \,dx + \int_{-1}^{1} 1 \,dx + \int_{1}^{2} (x-2)^2 \,dx$.
Вычисляем интегралы. Заметим, что первый и третий интегралы равны из-за симметрии. $\int_{1}^{2} (x-2)^2 \,dx = \left[ \frac{(x-2)^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{(2-2)^3}{3} - \frac{(1-2)^3}{3} = 0 - \frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$.
Следовательно, $\int_{-2}^{-1} (x+2)^2 \,dx = \frac{1}{3}$.
$\int_{-1}^{1} 1 \,dx = [x]_{-1}^{1} = 1 - (-1) = 2$.
Общая площадь: $S = \frac{1}{3} + 2 + \frac{1}{3} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.
Ответ: $S = \frac{8}{3}$.

4) Фигура ограничена параболами $y=(x+2)^2$, $y=(x-3)^2$, осью Ox и прямой, проходящей через точки $(-1; 1)$ и $(1; 4)$.
1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A$(-1; 1)$ и B$(1; 4)$. Угловой коэффициент: $m = \frac{4-1}{1-(-1)} = \frac{3}{2}$. Уравнение прямой: $y - 1 = \frac{3}{2}(x+1) \implies y = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2} + 1 \implies y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$.
2. Вершины парабол: $y=(x+2)^2$ в точке $(-2,0)$ и $y=(x-3)^2$ в точке $(3,0)$.
3. Точка $(-1,1)$ является точкой пересечения левой параболы $y=(x+2)^2$ и прямой. Проверим: $(-1+2)^2=1^2=1$. Точка $(1,4)$ является точкой пересечения правой параболы $y=(x-3)^2$ и прямой. Проверим: $(1-3)^2=(-2)^2=4$.
Верхняя граница фигуры состоит из трех частей: - на отрезке $[-2, -1]$ — дуга параболы $y=(x+2)^2$; - на отрезке $[-1, 1]$ — отрезок прямой $y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$; - на отрезке $[1, 3]$ — дуга параболы $y=(x-3)^2$.
Площадь $S$ вычисляется как сумма трех интегралов: $S = \int_{-2}^{-1} (x+2)^2 \,dx + \int_{-1}^{1} \left(\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}\right) \,dx + \int_{1}^{3} (x-3)^2 \,dx$.
Вычисляем интегралы: $\int_{-2}^{-1} (x+2)^2 \,dx = \left[ \frac{(x+2)^3}{3} \right]_{-2}^{-1} = \frac{(-1+2)^3}{3} - \frac{(-2+2)^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.
$\int_{-1}^{1} \left(\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}\right) \,dx = \left[ \frac{3x^2}{4} + \frac{5x}{2} \right]_{-1}^{1} = \left(\frac{3}{4} + \frac{5}{2}\right) - \left(\frac{3}{4} - \frac{5}{2}\right) = \frac{5}{2} - (-\frac{5}{2}) = 5$.
$\int_{1}^{3} (x-3)^2 \,dx = \left[ \frac{(x-3)^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{(3-3)^3}{3} - \frac{(1-3)^3}{3} = 0 - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3}$.
Общая площадь: $S = \frac{1}{3} + 5 + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} + 5 = 3 + 5 = 8$.
Ответ: $S = 8$.

5) Фигура ограничена графиком функции $y=\sin x$, прямой $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и отрезком $[0; \pi]$ оси Ox.
Найдем точки пересечения графика $y=\sin x$ с прямой $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[0, \pi]$: $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x_1 = \frac{\pi}{3}, x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Фигура ограничена снизу осью Ox, а сверху — функцией $f(x) = \min(\sin x, \frac{\sqrt{3}}{2})$. - на отрезке $[0, \frac{\pi}{3}]$ верхняя граница — $y=\sin x$; - на отрезке $[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$ верхняя граница — $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$; - на отрезке $[\frac{2\pi}{3}, \pi]$ верхняя граница — $y=\sin x$.
Площадь $S$ вычисляется как сумма трех интегралов: $S = \int_{0}^{\pi/3} \sin x \,dx + \int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\sqrt{3}}{2} \,dx + \int_{2\pi/3}^{\pi} \sin x \,dx$.
Вычисляем интегралы: $\int_{0}^{\pi/3} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi/3} = -\cos(\frac{\pi}{3}) - (-\cos(0)) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.
$\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \frac{\sqrt{3}}{2} \,dx = \left[\frac{\sqrt{3}}{2}x\right]_{\pi/3}^{2\pi/3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.
$\int_{2\pi/3}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{2\pi/3}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(\frac{2\pi}{3})) = -(-1) - (-(-\frac{1}{2})) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Общая площадь: $S = \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.
Ответ: $S = 1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}$.

6) Фигура ограничена графиком функции $y=\cos x$, прямой $y=\frac{1}{2}$ и отрезком $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ оси Ox.
Найдем точки пересечения графика $y=\cos x$ с прямой $y=\frac{1}{2}$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$: $\cos x = \frac{1}{2} \implies x_1 = -\frac{\pi}{3}, x_2 = \frac{\pi}{3}$.
Фигура симметрична относительно оси Oy. Верхняя граница определяется функцией $f(x) = \min(\cos x, \frac{1}{2})$. - на отрезках $[-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}]$ и $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$ верхняя граница — $y=\cos x$; - на отрезке $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$ верхняя граница — $y=\frac{1}{2}$.
Площадь $S$ вычисляется как сумма трех интегралов: $S = \int_{-\pi/2}^{-\pi/3} \cos x \,dx + \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{1}{2} \,dx + \int_{\pi/3}^{\pi/2} \cos x \,dx$.
Вычисляем интегралы: $\int_{-\pi/2}^{-\pi/3} \cos x \,dx = [\sin x]_{-\pi/2}^{-\pi/3} = \sin(-\frac{\pi}{3}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{1}{2} \,dx = \left[\frac{1}{2}x\right]_{-\pi/3}^{\pi/3} = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3})\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.
$\int_{\pi/3}^{\pi/2} \cos x \,dx = [\sin x]_{\pi/3}^{\pi/2} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{3}) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общая площадь: $S = \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{\pi}{3} + \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 - \sqrt{3} + \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $S = \frac{\pi}{3} + 2 - \sqrt{3}$.