Номер 380, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 4. Вычисление площадей фигур с помощью интегралов - номер 380, страница 158.

Условие.

380. Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y = x^2 - 4x + 3$ и осью $Ox;$

2) графиком функции $y = \cos x$, прямыми $x = \frac{3\pi}{4}$, $x = \pi$ и осью $Ox.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) параболой y = x² - 4x + 3 и осью Ox;

Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью Ox, вычисляется с помощью определенного интеграла. Сначала найдем точки пересечения параболы $y = x^2 - 4x + 3$ с осью Ox (где $y=0$).

Приравняем уравнение параболы к нулю:
$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Это и будут пределы интегрирования.

Чтобы определить, находится ли график функции выше или ниже оси Ox на интервале $(1, 3)$, возьмем любую точку из этого интервала, например $x=2$.
$y(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Поскольку значение функции отрицательно, график на данном интервале расположен ниже оси Ox. Поэтому для вычисления площади мы должны взять интеграл от функции с противоположным знаком.

Площадь $S$ равна:
$S = \int_1^3 |x^2 - 4x + 3| \, dx = \int_1^3 -(x^2 - 4x + 3) \, dx = \int_1^3 (-x^2 + 4x - 3) \, dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left(-\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - 3x\right)\Big|_1^3 = \left(-\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x\right)\Big|_1^3$
$S = \left(-\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3\right) - \left(-\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1\right)$
$S = \left(-\frac{27}{3} + 2 \cdot 9 - 9\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2 - 3\right)$
$S = (-9 + 18 - 9) - (-\frac{1}{3} - 1) = 0 - (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$

Ответ: $S = \frac{4}{3}$

2) графиком функции y = cos x, прямыми x = 3π/4, x = π и осью Ox.

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \cos x$, осью Ox и вертикальными прямыми $x = \frac{3\pi}{4}$ и $x = \pi$, вычисляется как определенный интеграл от модуля функции по заданному отрезку.

Определим знак функции $y = \cos x$ на интервале $[\frac{3\pi}{4}, \pi]$. Этот интервал соответствует второй четверти координатной плоскости, где косинус принимает отрицательные значения. Следовательно, $\cos x \le 0$ для $x \in [\frac{3\pi}{4}, \pi]$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{3\pi/4}^{\pi} |\cos x| \, dx = \int_{3\pi/4}^{\pi} (-\cos x) \, dx$

Найдем первообразную для функции $-\cos x$. Это $-\sin x$. Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S = (-\sin x)\Big|_{3\pi/4}^{\pi} = (-\sin \pi) - (-\sin \frac{3\pi}{4})$

Мы знаем, что $\sin \pi = 0$ и $\sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения:
$S = (0) - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $S = \frac{\sqrt{2}}{2}$