Номер 373, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 373, страница 154.
№373 (с. 154)
Условие. №373 (с. 154)
скриншот условия

373. 1) $\int_0^5 \frac{6}{\sqrt{3x+1}} dx;$
2) $\int_2^7 \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx.$
Решение 1. №373 (с. 154)


Решение 2. №373 (с. 154)

Решение 3. №373 (с. 154)
1) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{5} \frac{6}{\sqrt{3x+1}} dx$.
Для решения этого интеграла применим метод замены переменной (подстановки). Пусть $t = 3x+1$.
Найдем дифференциал $dt$. $dt = (3x+1)' dx = 3dx$. Отсюда выразим $dx$: $dx = \frac{dt}{3}$.
Теперь необходимо пересчитать пределы интегрирования для новой переменной $t$.
Нижний предел: при $x=0$, $t = 3 \cdot 0 + 1 = 1$.
Верхний предел: при $x=5$, $t = 3 \cdot 5 + 1 = 15 + 1 = 16$.
Подставим новую переменную и новые пределы в исходный интеграл:
$\int_{0}^{5} \frac{6}{\sqrt{3x+1}} dx = \int_{1}^{16} \frac{6}{\sqrt{t}} \frac{dt}{3} = \int_{1}^{16} \frac{2}{\sqrt{t}} dt = 2 \int_{1}^{16} t^{-1/2} dt$.
Теперь найдем первообразную для $t^{-1/2}$ по формуле $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$:
$2 \int t^{-1/2} dt = 2 \cdot \frac{t^{-1/2+1}}{-1/2+1} = 2 \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} = 4t^{1/2} = 4\sqrt{t}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$:
$2 \int_{1}^{16} t^{-1/2} dt = 4\sqrt{t} \bigg|_{1}^{16} = 4\sqrt{16} - 4\sqrt{1} = 4 \cdot 4 - 4 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
Ответ: 12
2) Вычислим определенный интеграл $\int_{2}^{7} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx$.
Этот интеграл также решается методом замены переменной. Пусть $t = x+2$.
Тогда дифференциал $dt = (x+2)' dx = 1 \cdot dx = dx$.
Пересчитаем пределы интегрирования для переменной $t$.
Нижний предел: при $x=2$, $t = 2 + 2 = 4$.
Верхний предел: при $x=7$, $t = 7 + 2 = 9$.
Выполним подстановку в интеграл:
$\int_{2}^{7} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx = \int_{4}^{9} \frac{4}{\sqrt{t}} dt = 4 \int_{4}^{9} t^{-1/2} dt$.
Как и в предыдущем примере, первообразная для $t^{-1/2}$ равна $2\sqrt{t}$.
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$4 \int_{4}^{9} t^{-1/2} dt = 4 \cdot (2\sqrt{t}) \bigg|_{4}^{9} = 8\sqrt{t} \bigg|_{4}^{9} = 8\sqrt{9} - 8\sqrt{4} = 8 \cdot 3 - 8 \cdot 2 = 24 - 16 = 8$.
Ответ: 8
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 373 расположенного на странице 154 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №373 (с. 154), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.