Номер 373, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление - номер 373, страница 154.

Условие.

373. 1) $\int_0^5 \frac{6}{\sqrt{3x+1}} dx;$

2) $\int_2^7 \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{5} \frac{6}{\sqrt{3x+1}} dx$.

Для решения этого интеграла применим метод замены переменной (подстановки). Пусть $t = 3x+1$.

Найдем дифференциал $dt$. $dt = (3x+1)' dx = 3dx$. Отсюда выразим $dx$: $dx = \frac{dt}{3}$.

Теперь необходимо пересчитать пределы интегрирования для новой переменной $t$.

Нижний предел: при $x=0$, $t = 3 \cdot 0 + 1 = 1$.

Верхний предел: при $x=5$, $t = 3 \cdot 5 + 1 = 15 + 1 = 16$.

Подставим новую переменную и новые пределы в исходный интеграл:

$\int_{0}^{5} \frac{6}{\sqrt{3x+1}} dx = \int_{1}^{16} \frac{6}{\sqrt{t}} \frac{dt}{3} = \int_{1}^{16} \frac{2}{\sqrt{t}} dt = 2 \int_{1}^{16} t^{-1/2} dt$.

Теперь найдем первообразную для $t^{-1/2}$ по формуле $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$:

$2 \int t^{-1/2} dt = 2 \cdot \frac{t^{-1/2+1}}{-1/2+1} = 2 \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} = 4t^{1/2} = 4\sqrt{t}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$2 \int_{1}^{16} t^{-1/2} dt = 4\sqrt{t} \bigg|_{1}^{16} = 4\sqrt{16} - 4\sqrt{1} = 4 \cdot 4 - 4 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

Ответ: 12

2) Вычислим определенный интеграл $\int_{2}^{7} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx$.

Этот интеграл также решается методом замены переменной. Пусть $t = x+2$.

Тогда дифференциал $dt = (x+2)' dx = 1 \cdot dx = dx$.

Пересчитаем пределы интегрирования для переменной $t$.

Нижний предел: при $x=2$, $t = 2 + 2 = 4$.

Верхний предел: при $x=7$, $t = 7 + 2 = 9$.

Выполним подстановку в интеграл:

$\int_{2}^{7} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx = \int_{4}^{9} \frac{4}{\sqrt{t}} dt = 4 \int_{4}^{9} t^{-1/2} dt$.

Как и в предыдущем примере, первообразная для $t^{-1/2}$ равна $2\sqrt{t}$.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$4 \int_{4}^{9} t^{-1/2} dt = 4 \cdot (2\sqrt{t}) \bigg|_{4}^{9} = 8\sqrt{t} \bigg|_{4}^{9} = 8\sqrt{9} - 8\sqrt{4} = 8 \cdot 3 - 8 \cdot 2 = 24 - 16 = 8$.

Ответ: 8