Номер 378, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

378. Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $y = \sin x$, отрезком $[0; \pi]$ оси Ox и прямой, проходящей через точки $(0; 0)$ и $(\frac{\pi}{2}; 1)$;

2) графиками функций $y = \sin x$, $y = \cos x$ и отрезком $[0; \frac{\pi}{2}]$ оси Ox;

3) графиками функций $y = \sqrt{x}$, $y = (x - 2)^2$ и осью Ox;

4) графиками функций $y = x^3$, $y = 2x - x^2$ и осью Ox.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями, мы будем использовать определенный интеграл. Основная формула для площади криволинейной трапеции между двумя функциями $f(x)$ и $g(x)$ на интервале $[a; b]$ выглядит так: $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx$.

1) $y = \sin x$, отрезок $[0; \pi]$ на Ox и прямая через $(0; 0)$ и $(\frac{\pi}{2}; 1)$

Найдем уравнение прямой: $y = kx$. Подставим точку $(\frac{\pi}{2}; 1)$: $1 = k \cdot \frac{\pi}{2} \Rightarrow k = \frac{2}{\pi}$. Прямая: $y = \frac{2}{\pi}x$.

Фигура состоит из двух сегментов:

• От $0$ до $\frac{\pi}{2}$: площадь между $\sin x$ (сверху) и прямой $\frac{2}{\pi}x$ (снизу).
• От $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$: площадь под $\sin x$ до оси Ox.

$$S = \int_{0}^{\pi/2} (\sin x - \frac{2}{\pi}x) dx + \int_{\pi/2}^{\pi} \sin x \, dx$$

$$S = (-\cos x - \frac{x^2}{\pi}) \Big|_0^{\pi/2} + (-\cos x) \Big|_{\pi/2}^{\pi} = (0 - \frac{\pi}{4} + 1 + 0) + (1 - 0) = 2 - \frac{\pi}{4}$$

2) $y = \sin x$, $y = \cos x$ и отрезок $[0; \frac{\pi}{2}]$ на Ox

Графики пересекаются при $\sin x = \cos x \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$. Площадь ограничена осью Ox снизу:

• На $[0; \frac{\pi}{4}]$ берем интеграл от $\sin x$.
• На $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$ берем интеграл от $\cos x$.

$$S = \int_{0}^{\pi/4} \sin x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \, dx = (-\cos x) \Big|_0^{\pi/4} + (\sin x) \Big|_{\pi/4}^{\pi/2}$$

$$S = (-\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) + (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 - \sqrt{2}$$

3) $y = \sqrt{x}$, $y = (x - 2)^2$ и ось Ox

Точка пересечения функций: $\sqrt{x} = (x-2)^2 \Rightarrow x = 1$. Парабола касается оси Ox в точке $x=2$.

• От $0$ до $1$: интегрируем $\sqrt{x}$.
• От $1$ до $2$: интегрируем $(x-2)^2$.

$$S = \int_{0}^{1} x^{1/2} dx + \int_{1}^{2} (x - 2)^2 dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \Big|_0^1 + \frac{(x-2)^3}{3} \Big|_1^2$$

$$S = \frac{2}{3} + (0 - (-\frac{1}{3})) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$$

4) $y = x^3$, $y = 2x - x^2$ и ось Ox

Парабола $y = x(2-x)$ пересекает Ox в $0$ и $2$. Пересечение с $x^3$: $x^3 = 2x - x^2 \Rightarrow x = 1$ (при $x > 0$).

• От $0$ до $1$: под кривой $y = x^3$.
• От $1$ до $2$: под кривой $y = 2x - x^2$.

$$S = \int_{0}^{1} x^3 dx + \int_{1}^{2} (2x - x^2) dx = \frac{x^4}{4} \Big|_0^1 + (x^2 - \frac{x^3}{3}) \Big|_1^2$$

$$S = \frac{1}{4} + (4 - \frac{8}{3} - 1 + \frac{1}{3}) = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{11}{12}$$