Номер 378, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 4. Вычисление площадей фигур с помощью интегралов - номер 378, страница 158.

Условие.

378. Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $y = \sin x$, отрезком $[0; \pi]$ оси Ox и прямой, проходящей через точки $(0; 0)$ и $(\frac{\pi}{2}; 1)$;

2) графиками функций $y = \sin x$, $y = \cos x$ и отрезком $[0; \frac{\pi}{2}]$ оси Ox;

3) графиками функций $y = \sqrt{x}$, $y = (x - 2)^2$ и осью Ox;

4) графиками функций $y = x^3$, $y = 2x - x^2$ и осью Ox.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Фигура ограничена графиком функции $y = \sin x$, отрезком $[0; \pi]$ оси Ox ($y=0$) и прямой, проходящей через точки $(0; 0)$ и $(\frac{\pi}{2}; 1)$.

Сначала найдем уравнение прямой. Так как прямая проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид $y = kx$. Подставив координаты второй точки $(\frac{\pi}{2}; 1)$, получим $1 = k \cdot \frac{\pi}{2}$, откуда $k = \frac{2}{\pi}$. Итак, уравнение прямой: $y = \frac{2}{\pi}x$.

Теперь найдем точки пересечения графиков $y = \sin x$ и $y = \frac{2}{\pi}x$. Очевидно, что $x=0$ и $x=\frac{\pi}{2}$ являются точками пересечения. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ график функции $y = \sin x$ (являющейся выпуклой вверх) лежит не ниже хорды, соединяющей точки $(0,0)$ и $(\frac{\pi}{2}, 1)$, то есть $\sin x \ge \frac{2}{\pi}x$. На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ функция $y = \sin x$ убывает от 1 до 0, а линейная функция $y = \frac{2}{\pi}x$ возрастает от 1 до 2, следовательно $\sin x \le \frac{2}{\pi}x$.

Фигура, о которой идет речь, ограничена снизу осью Ox ($y=0$), а сверху — нижней огибающей графиков функций $y=\sin x$ и $y=\frac{2}{\pi}x$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ нижняя граница — это прямая $y=\frac{2}{\pi}x$. На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ нижняя граница — это синусоида $y=\sin x$.

Площадь фигуры $S$ равна сумме площадей двух криволинейных трапеций:

$S = \int\limits_{0}^{\pi/2} \frac{2}{\pi}x \,dx + \int\limits_{\pi/2}^{\pi} \sin x \,dx$

Вычислим первый интеграл:

$\int\limits_{0}^{\pi/2} \frac{2}{\pi}x \,dx = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{\pi} \left( (\frac{\pi}{2})^2 - 0^2 \right) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Вычислим второй интеграл:

$\int\limits_{\pi/2}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{\pi/2}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos \frac{\pi}{2}) = -(-1) - 0 = 1$.

Искомая площадь:

$S = \frac{\pi}{4} + 1$.

Ответ: $1 + \frac{\pi}{4}$.

2)

Фигура ограничена графиками функций $y = \sin x$, $y = \cos x$ и отрезком $[0; \frac{\pi}{2}]$ оси Ox ($y=0$).

Найдем точку пересечения графиков $y = \sin x$ и $y = \cos x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.

$\sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}$.

На отрезке $[0, \frac{\pi}{4}]$ выполняется неравенство $\cos x \ge \sin x$. На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ выполняется неравенство $\sin x \ge \cos x$.

Фигура ограничена снизу осью Ox, а сверху — нижней огибающей графиков $y=\sin x$ и $y=\cos x$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{4}]$ верхняя граница фигуры — это график $y=\sin x$. На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ верхняя граница фигуры — это график $y=\cos x$.

Площадь фигуры $S$ равна сумме площадей двух криволинейных трапеций:

$S = \int\limits_{0}^{\pi/4} \sin x \,dx + \int\limits_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \,dx$

Вычислим интегралы:

$\int\limits_{0}^{\pi/4} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi/4} = (-\cos \frac{\pi}{4}) - (-\cos 0) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$.

$\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \,dx = [\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Искомая площадь:

$S = (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 - \sqrt{2}$.

Ответ: $2 - \sqrt{2}$.

3)

Фигура ограничена графиками функций $y = \sqrt{x}$, $y = (x-2)^2$ и осью Ox ($y=0$).

Найдем точки пересечения кривых. $y=\sqrt{x}$ и $y=(x-2)^2$: $\sqrt{x} = (x-2)^2$. Легко видеть, что $x=1$ является корнем уравнения: $\sqrt{1} = 1$ и $(1-2)^2 = 1$. График $y=\sqrt{x}$ пересекает ось Ox в точке $x=0$. График $y=(x-2)^2$ (парабола с вершиной в $(2,0)$) касается оси Ox в точке $x=2$.

Фигура ограничена снизу осью Ox. Верхняя граница фигуры образована частями графиков $y=\sqrt{x}$ и $y=(x-2)^2$. На отрезке $[0, 1]$ верхняя граница — это $y=\sqrt{x}$. На отрезке $[1, 2]$ верхняя граница — это $y=(x-2)^2$.

Площадь фигуры $