Номер 378, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Вычисление площадей фигур с помощью интегралов. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 378, страница 158.
№378 (с. 158)
Условие. №378 (с. 158)
скриншот условия

378. Найти площадь фигуры, ограниченной:
1) графиком функции $y = \sin x$, отрезком $[0; \pi]$ оси Ox и прямой, проходящей через точки $(0; 0)$ и $(\frac{\pi}{2}; 1)$;
2) графиками функций $y = \sin x$, $y = \cos x$ и отрезком $[0; \frac{\pi}{2}]$ оси Ox;
3) графиками функций $y = \sqrt{x}$, $y = (x - 2)^2$ и осью Ox;
4) графиками функций $y = x^3$, $y = 2x - x^2$ и осью Ox.
Решение 1. №378 (с. 158)




Решение 2. №378 (с. 158)




Решение 3. №378 (с. 158)
1)
Фигура ограничена графиком функции $y = \sin x$, отрезком $[0; \pi]$ оси Ox ($y=0$) и прямой, проходящей через точки $(0; 0)$ и $(\frac{\pi}{2}; 1)$.
Сначала найдем уравнение прямой. Так как прямая проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид $y = kx$. Подставив координаты второй точки $(\frac{\pi}{2}; 1)$, получим $1 = k \cdot \frac{\pi}{2}$, откуда $k = \frac{2}{\pi}$. Итак, уравнение прямой: $y = \frac{2}{\pi}x$.
Теперь найдем точки пересечения графиков $y = \sin x$ и $y = \frac{2}{\pi}x$. Очевидно, что $x=0$ и $x=\frac{\pi}{2}$ являются точками пересечения. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ график функции $y = \sin x$ (являющейся выпуклой вверх) лежит не ниже хорды, соединяющей точки $(0,0)$ и $(\frac{\pi}{2}, 1)$, то есть $\sin x \ge \frac{2}{\pi}x$. На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ функция $y = \sin x$ убывает от 1 до 0, а линейная функция $y = \frac{2}{\pi}x$ возрастает от 1 до 2, следовательно $\sin x \le \frac{2}{\pi}x$.
Фигура, о которой идет речь, ограничена снизу осью Ox ($y=0$), а сверху — нижней огибающей графиков функций $y=\sin x$ и $y=\frac{2}{\pi}x$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ нижняя граница — это прямая $y=\frac{2}{\pi}x$. На отрезке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ нижняя граница — это синусоида $y=\sin x$.
Площадь фигуры $S$ равна сумме площадей двух криволинейных трапеций:
$S = \int\limits_{0}^{\pi/2} \frac{2}{\pi}x \,dx + \int\limits_{\pi/2}^{\pi} \sin x \,dx$
Вычислим первый интеграл:
$\int\limits_{0}^{\pi/2} \frac{2}{\pi}x \,dx = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{\pi} \left( (\frac{\pi}{2})^2 - 0^2 \right) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi}{4}$.
Вычислим второй интеграл:
$\int\limits_{\pi/2}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{\pi/2}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos \frac{\pi}{2}) = -(-1) - 0 = 1$.
Искомая площадь:
$S = \frac{\pi}{4} + 1$.
Ответ: $1 + \frac{\pi}{4}$.
2)
Фигура ограничена графиками функций $y = \sin x$, $y = \cos x$ и отрезком $[0; \frac{\pi}{2}]$ оси Ox ($y=0$).
Найдем точку пересечения графиков $y = \sin x$ и $y = \cos x$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.
$\sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}$.
На отрезке $[0, \frac{\pi}{4}]$ выполняется неравенство $\cos x \ge \sin x$. На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ выполняется неравенство $\sin x \ge \cos x$.
Фигура ограничена снизу осью Ox, а сверху — нижней огибающей графиков $y=\sin x$ и $y=\cos x$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{4}]$ верхняя граница фигуры — это график $y=\sin x$. На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ верхняя граница фигуры — это график $y=\cos x$.
Площадь фигуры $S$ равна сумме площадей двух криволинейных трапеций:
$S = \int\limits_{0}^{\pi/4} \sin x \,dx + \int\limits_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \,dx$
Вычислим интегралы:
$\int\limits_{0}^{\pi/4} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi/4} = (-\cos \frac{\pi}{4}) - (-\cos 0) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$.
$\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \,dx = [\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Искомая площадь:
$S = (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 - \sqrt{2}$.
Ответ: $2 - \sqrt{2}$.
3)
Фигура ограничена графиками функций $y = \sqrt{x}$, $y = (x-2)^2$ и осью Ox ($y=0$).
Найдем точки пересечения кривых. $y=\sqrt{x}$ и $y=(x-2)^2$: $\sqrt{x} = (x-2)^2$. Легко видеть, что $x=1$ является корнем уравнения: $\sqrt{1} = 1$ и $(1-2)^2 = 1$. График $y=\sqrt{x}$ пересекает ось Ox в точке $x=0$. График $y=(x-2)^2$ (парабола с вершиной в $(2,0)$) касается оси Ox в точке $x=2$.
Фигура ограничена снизу осью Ox. Верхняя граница фигуры образована частями графиков $y=\sqrt{x}$ и $y=(x-2)^2$. На отрезке $[0, 1]$ верхняя граница — это $y=\sqrt{x}$. На отрезке $[1, 2]$ верхняя граница — это $y=(x-2)^2$.
Площадь фигуры $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 378 расположенного на странице 158 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №378 (с. 158), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.