Номер 374, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление - номер 374, страница 154.

Условие.

374. 1) $\int_0^2 e^{3x} dx;$

2) $\int_1^3 2e^{2x} dx;$

3) $\int_1^2 \frac{3}{2x-1} dx;$

4) $\int_{-1}^1 \frac{4}{3x+5} dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{2} e^{3x} dx$ сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = e^{3x}$.
Используем табличный интеграл для экспоненциальной функции: $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$.
В данном случае коэффициент $k=3$, поэтому первообразная $F(x) = \frac{1}{3}e^{3x}$.
Далее применяем формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{0}^{2} e^{3x} dx = \left[ \frac{1}{3}e^{3x} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{3}e^{3 \cdot 2} - \frac{1}{3}e^{3 \cdot 0} = \frac{1}{3}e^6 - \frac{1}{3}e^0$.

Поскольку любое число в нулевой степени равно 1 ($e^0=1$), получаем:

$\frac{1}{3}e^6 - \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{e^6-1}{3}$.

Ответ: $\frac{e^6-1}{3}$.

2)

Для вычисления интеграла $\int_{1}^{3} 2e^{2x} dx$ вынесем постоянный множитель 2 за знак интеграла:

$2\int_{1}^{3} e^{2x} dx$.

Первообразная для функции $f(x) = e^{2x}$ находится по той же формуле $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$, где $k=2$.
Следовательно, первообразная $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$.
Подставляем в формулу Ньютона-Лейбница:

$2\int_{1}^{3} e^{2x} dx = 2 \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{1}^{3} = \left[ e^{2x} \right]_{1}^{3} = e^{2 \cdot 3} - e^{2 \cdot 1} = e^6 - e^2$.

Ответ: $e^6 - e^2$.

3)

Рассмотрим интеграл $\int_{1}^{2} \frac{3}{2x-1} dx$.
Вынесем постоянный множитель 3 за знак интеграла:

$3\int_{1}^{2} \frac{1}{2x-1} dx$.

Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{1}{2x-1}$ используем формулу $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$.
В нашем случае $k=2$ и $b=-1$. Таким образом, первообразная $F(x) = \frac{1}{2}\ln|2x-1|$.
На интервале интегрирования $[1, 2]$ выражение $2x-1$ положительно, поэтому знак модуля можно опустить.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$3\int_{1}^{2} \frac{1}{2x-1} dx = 3 \left[ \frac{1}{2}\ln(2x-1) \right]_{1}^{2} = \frac{3}{2} \left[ \ln(2x-1) \right]_{1}^{2} = \frac{3}{2}(\ln(2 \cdot 2 - 1) - \ln(2 \cdot 1 - 1)) = \frac{3}{2}(\ln(3) - \ln(1))$.

Так как $\ln(1) = 0$, итоговый результат:

$\frac{3}{2}\ln(3)$.

Ответ: $\frac{3}{2}\ln(3)$.

4)

Решим интеграл $\int_{-1}^{1} \frac{4}{3x+5} dx$.
Сначала вынесем константу 4:

$4\int_{-1}^{1} \frac{1}{3x+5} dx$.

Первообразная для $f(x) = \frac{1}{3x+5}$ находится по формуле $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$, где $k=3$ и $b=5$.
Первообразная $F(x) = \frac{1}{3}\ln|3x+5|$.
На интервале $[-1, 1]$ выражение $3x+5$ принимает значения от $3(-1)+5=2$ до $3(1)+5=8$, то есть всегда положительно, и знак модуля можно опустить.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$4\int_{-1}^{1} \frac{1}{3x+5} dx = 4 \left[ \frac{1}{3}\ln(3x+5) \right]_{-1}^{1} = \frac{4}{3} \left[ \ln(3x+5) \right]_{-1}^{1} = \frac{4}{3}(\ln(3 \cdot 1 + 5) - \ln(3 \cdot (-1) + 5)) = \frac{4}{3}(\ln(8) - \ln(2))$.

Используя свойство разности логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, получаем:

$\frac{4}{3}\ln(\frac{8}{2}) = \frac{4}{3}\ln(4)$.

Ответ: $\frac{4}{3}\ln(4)$.