Номер 370, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 370, страница 154.

№370 (с. 154)
Условие. №370 (с. 154)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 154, номер 370, Условие

370. Изобразить фигуру, площадь которой равна данному интегралу, и вычислить эту площадь:

1) $\int_{-2}^{-3/2} (-2 - 3x) dx;$

2) $\int_{-2}^{3} (6 - 2x) dx;$

3) $\int_{0}^{4} (12 + x - x^2) dx;$

4) $\int_{0}^{-2} (x^2 - 3x) dx;$

5) $\int_{2\pi}^{3\pi} \sin x dx;$

6) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x dx;$

7) $\int_{-\pi/4}^{\pi/2} \cos x dx;$

8) $\int_{\pi/6}^{\pi} \sin x dx.$

Решение 1. №370 (с. 154)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 154, номер 370, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 154, номер 370, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 154, номер 370, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 154, номер 370, Решение 1 (продолжение 4) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 154, номер 370, Решение 1 (продолжение 5) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 154, номер 370, Решение 1 (продолжение 6) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 154, номер 370, Решение 1 (продолжение 7) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 154, номер 370, Решение 1 (продолжение 8)
Решение 2. №370 (с. 154)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 154, номер 370, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 154, номер 370, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 154, номер 370, Решение 2 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 154, номер 370, Решение 2 (продолжение 4) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 154, номер 370, Решение 2 (продолжение 5) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 154, номер 370, Решение 2 (продолжение 6) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 154, номер 370, Решение 2 (продолжение 7)
Решение 3. №370 (с. 154)

1) $\int_{-2}^{-\frac{3}{2}} (-2 - 3x) dx$

Фигура, площадь которой равна данному интегралу, — это криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = -2 - 3x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -2$ и $x = -3/2$. Поскольку $y = -2 - 3x$ — это прямая линия, фигура является обычной трапецией. Найдем значения функции на концах отрезка: $y(-2) = -2 - 3(-2) = -2 + 6 = 4$. $y(-3/2) = -2 - 3(-3/2) = -2 + 9/2 = 5/2 = 2.5$. Так как на отрезке $[-2, -3/2]$ функция $y = -2 - 3x$ положительна, значение интеграла равно площади этой трапеции.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-2}^{-\frac{3}{2}} (-2 - 3x) dx = \left. \left(-2x - \frac{3x^2}{2}\right) \right|_{-2}^{-\frac{3}{2}} =$ $= \left(-2\left(-\frac{3}{2}\right) - \frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)^2\right) - \left(-2(-2) - \frac{3}{2}(-2)^2\right) =$ $= \left(3 - \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4}\right) - \left(4 - \frac{3}{2} \cdot 4\right) = \left(3 - \frac{27}{8}\right) - (4 - 6) = \left(\frac{24 - 27}{8}\right) - (-2) = -\frac{3}{8} + 2 = \frac{13}{8}$.

Ответ: $\frac{13}{8}$.

2) $\int_{-2}^{3} (6 - 2x) dx$

Фигура, площадь которой равна данному интегралу, — это криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = 6 - 2x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -2$ и $x = 3$. Поскольку $y = 6 - 2x$ — это прямая линия, а значение функции в точке $x=3$ равно $y(3) = 6 - 2(3) = 0$, фигура является прямоугольным треугольником. На отрезке $[-2, 3]$ функция $y = 6 - 2x$ неотрицательна, так как $y(-2)=10 > 0$ и $y(3)=0$.

Вычислим интеграл: $\int_{-2}^{3} (6 - 2x) dx = \left. \left(6x - x^2\right) \right|_{-2}^{3} =$ $= (6 \cdot 3 - 3^2) - (6(-2) - (-2)^2) = (18 - 9) - (-12 - 4) = 9 - (-16) = 25$.

Ответ: $25$.

3) $\int_{0}^{4} (12 + x - x^2) dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная параболой $y = 12 + x - x^2$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = 0$ и $x = 4$. Найдем корни уравнения $12 + x - x^2 = 0$, или $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому на интервале $(-3, 4)$ функция положительна. Следовательно, на отрезке $[0, 4]$ функция $y = 12 + x - x^2$ неотрицательна.

Вычислим интеграл: $\int_{0}^{4} (12 + x - x^2) dx = \left. \left(12x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right) \right|_{0}^{4} =$ $= \left(12 \cdot 4 + \frac{4^2}{2} - \frac{4^3}{3}\right) - (0) = 48 + \frac{16}{2} - \frac{64}{3} = 48 + 8 - \frac{64}{3} = 56 - \frac{64}{3} = \frac{168 - 64}{3} = \frac{104}{3}$.

Ответ: $\frac{104}{3}$.

4) $\int_{-2}^{0} (x^2 - 3x) dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная параболой $y = x^2 - 3x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -2$ и $x = 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x = 0$, то есть $x(x - 3) = 0$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому на интервале $(-\infty, 0)$ функция положительна. Следовательно, на отрезке $[-2, 0]$ функция $y = x^2 - 3x$ неотрицательна.

Вычислим интеграл: $\int_{-2}^{0} (x^2 - 3x) dx = \left. \left(\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\right) \right|_{-2}^{0} =$ $= (0) - \left(\frac{(-2)^3}{3} - \frac{3(-2)^2}{2}\right) = -\left(-\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 4}{2}\right) = -\left(-\frac{8}{3} - 6\right) = \frac{8}{3} + 6 = \frac{8 + 18}{3} = \frac{26}{3}$.

Ответ: $\frac{26}{3}$.

5) $\int_{2\pi}^{3\pi} \sin x \, dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = \sin x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = 2\pi$ и $x = 3\pi$. На отрезке $[2\pi, 3\pi]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна (это одна "положительная" полуволна синусоиды).

Вычислим интеграл: $\int_{2\pi}^{3\pi} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_{2\pi}^{3\pi} =$ $= (-\cos(3\pi)) - (-\cos(2\pi)) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $2$.

6) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = \cos x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -\pi/2$ и $x = \pi/2$. На отрезке $[-\pi/2, \pi/2]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна (это центральная "положительная" полуволна косинусоиды).

Вычислим интеграл: $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \left. (\sin x) \right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} =$ $= \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$.

Ответ: $2$.

7) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = \cos x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -\pi/4$ и $x = \pi/2$. На отрезке $[-\pi/4, \pi/2]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна.

Вычислим интеграл: $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \left. (\sin x) \right|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} =$ $= \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{4}) = 1 - (-\sin(\frac{\pi}{4})) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

8) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \sin x \, dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = \sin x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = \pi/6$ и $x = \pi$. На отрезке $[\pi/6, \pi]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна, так как он является частью отрезка $[0, \pi]$, на котором синус неотрицателен.

Вычислим интеграл: $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} =$ $= (-\cos(\pi)) - (-\cos(\frac{\pi}{6})) = (-(-1)) - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 370 расположенного на странице 154 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №370 (с. 154), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.