Номер 370, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление - номер 370, страница 154.

Условие.

370. Изобразить фигуру, площадь которой равна данному интегралу, и вычислить эту площадь:

1) $\int_{-2}^{-3/2} (-2 - 3x) dx;$

2) $\int_{-2}^{3} (6 - 2x) dx;$

3) $\int_{0}^{4} (12 + x - x^2) dx;$

4) $\int_{0}^{-2} (x^2 - 3x) dx;$

5) $\int_{2\pi}^{3\pi} \sin x dx;$

6) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x dx;$

7) $\int_{-\pi/4}^{\pi/2} \cos x dx;$

8) $\int_{\pi/6}^{\pi} \sin x dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\int_{-2}^{-\frac{3}{2}} (-2 - 3x) dx$

Фигура, площадь которой равна данному интегралу, — это криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = -2 - 3x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -2$ и $x = -3/2$. Поскольку $y = -2 - 3x$ — это прямая линия, фигура является обычной трапецией. Найдем значения функции на концах отрезка: $y(-2) = -2 - 3(-2) = -2 + 6 = 4$. $y(-3/2) = -2 - 3(-3/2) = -2 + 9/2 = 5/2 = 2.5$. Так как на отрезке $[-2, -3/2]$ функция $y = -2 - 3x$ положительна, значение интеграла равно площади этой трапеции.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-2}^{-\frac{3}{2}} (-2 - 3x) dx = \left. \left(-2x - \frac{3x^2}{2}\right) \right|_{-2}^{-\frac{3}{2}} =$ $= \left(-2\left(-\frac{3}{2}\right) - \frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)^2\right) - \left(-2(-2) - \frac{3}{2}(-2)^2\right) =$ $= \left(3 - \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4}\right) - \left(4 - \frac{3}{2} \cdot 4\right) = \left(3 - \frac{27}{8}\right) - (4 - 6) = \left(\frac{24 - 27}{8}\right) - (-2) = -\frac{3}{8} + 2 = \frac{13}{8}$.

Ответ: $\frac{13}{8}$.

2) $\int_{-2}^{3} (6 - 2x) dx$

Фигура, площадь которой равна данному интегралу, — это криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = 6 - 2x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -2$ и $x = 3$. Поскольку $y = 6 - 2x$ — это прямая линия, а значение функции в точке $x=3$ равно $y(3) = 6 - 2(3) = 0$, фигура является прямоугольным треугольником. На отрезке $[-2, 3]$ функция $y = 6 - 2x$ неотрицательна, так как $y(-2)=10 > 0$ и $y(3)=0$.

Вычислим интеграл: $\int_{-2}^{3} (6 - 2x) dx = \left. \left(6x - x^2\right) \right|_{-2}^{3} =$ $= (6 \cdot 3 - 3^2) - (6(-2) - (-2)^2) = (18 - 9) - (-12 - 4) = 9 - (-16) = 25$.

Ответ: $25$.

3) $\int_{0}^{4} (12 + x - x^2) dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная параболой $y = 12 + x - x^2$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = 0$ и $x = 4$. Найдем корни уравнения $12 + x - x^2 = 0$, или $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому на интервале $(-3, 4)$ функция положительна. Следовательно, на отрезке $[0, 4]$ функция $y = 12 + x - x^2$ неотрицательна.

Вычислим интеграл: $\int_{0}^{4} (12 + x - x^2) dx = \left. \left(12x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right) \right|_{0}^{4} =$ $= \left(12 \cdot 4 + \frac{4^2}{2} - \frac{4^3}{3}\right) - (0) = 48 + \frac{16}{2} - \frac{64}{3} = 48 + 8 - \frac{64}{3} = 56 - \frac{64}{3} = \frac{168 - 64}{3} = \frac{104}{3}$.

Ответ: $\frac{104}{3}$.

4) $\int_{-2}^{0} (x^2 - 3x) dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная параболой $y = x^2 - 3x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -2$ и $x = 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x = 0$, то есть $x(x - 3) = 0$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому на интервале $(-\infty, 0)$ функция положительна. Следовательно, на отрезке $[-2, 0]$ функция $y = x^2 - 3x$ неотрицательна.

Вычислим интеграл: $\int_{-2}^{0} (x^2 - 3x) dx = \left. \left(\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\right) \right|_{-2}^{0} =$ $= (0) - \left(\frac{(-2)^3}{3} - \frac{3(-2)^2}{2}\right) = -\left(-\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 4}{2}\right) = -\left(-\frac{8}{3} - 6\right) = \frac{8}{3} + 6 = \frac{8 + 18}{3} = \frac{26}{3}$.

Ответ: $\frac{26}{3}$.

5) $\int_{2\pi}^{3\pi} \sin x \, dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = \sin x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = 2\pi$ и $x = 3\pi$. На отрезке $[2\pi, 3\pi]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна (это одна "положительная" полуволна синусоиды).

Вычислим интеграл: $\int_{2\pi}^{3\pi} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_{2\pi}^{3\pi} =$ $= (-\cos(3\pi)) - (-\cos(2\pi)) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $2$.

6) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = \cos x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -\pi/2$ и $x = \pi/2$. На отрезке $[-\pi/2, \pi/2]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна (это центральная "положительная" полуволна косинусоиды).

Вычислим интеграл: $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \left. (\sin x) \right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} =$ $= \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$.

Ответ: $2$.

7) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = \cos x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -\pi/4$ и $x = \pi/2$. На отрезке $[-\pi/4, \pi/2]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна.

Вычислим интеграл: $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \left. (\sin x) \right|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} =$ $= \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{4}) = 1 - (-\sin(\frac{\pi}{4})) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

8) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \sin x \, dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = \sin x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = \pi/6$ и $x = \pi$. На отрезке $[\pi/6, \pi]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна, так как он является частью отрезка $[0, \pi]$, на котором синус неотрицателен.

Вычислим интеграл: $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} =$ $= (-\cos(\pi)) - (-\cos(\frac{\pi}{6})) = (-(-1)) - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.