Номер 375, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление - номер 375, страница 154.

Условие.

375. 1) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \cos \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) dx;$

3) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 4x dx;$

4) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 \left(x - \frac{\pi}{3}\right) dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Вычислим определенный интеграл $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \,dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \sin 2x$ находится по формуле $\int \sin(kx) \,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.

В нашем случае $k=2$, поэтому первообразная $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \,dx = \left. -\frac{1}{2}\cos 2x \right|_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0)\right) = \left(-\frac{1}{2}\cos(\pi)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos(0)\right) = \left(-\frac{1}{2} \cdot (-1)\right) - \left(-\frac{1}{2} \cdot 1\right) = \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: 1.

2) Вычислим определенный интеграл $\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) \,dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$ находится по формуле $\int \cos(kx+b) \,dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$.

Здесь $k=3$, $b=-\frac{\pi}{4}$. Первообразная $F(x) = \frac{1}{3}\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) \,dx = \left. \frac{1}{3}\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) \right|_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} = \frac{1}{3}\sin\left(3\pi - \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{3}\sin\left(3\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{3}\sin\left(\frac{11\pi}{4}\right) - \frac{1}{3}\sin\left(\frac{2\pi}{4}\right) = \frac{1}{3}\sin\left(2\pi + \frac{3\pi}{4}\right) - \frac{1}{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

Так как $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, получаем:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{6} - \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{2}-2}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}-2}{6}$.

3) Вычислим определенный интеграл $\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 4x \,dx$.

Для интегрирования используем формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = 4x$, поэтому $\cos^2 4x = \frac{1 + \cos(8x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(8x)$.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(8x)\right) \,dx = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} \,dx + \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2}\cos(8x) \,dx = \left[ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}\sin(8x) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \left. \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin(8x)}{16}\right) \right|_0^{\frac{\pi}{4}}$.

Подставляем пределы интегрирования:

$\left(\frac{\pi/4}{2} + \frac{\sin(8 \cdot \pi/4)}{16}\right) - \left(\frac{0}{2} + \frac{\sin(8 \cdot 0)}{16}\right) = \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\sin(2\pi)}{16}\right) - (0 + 0) = \frac{\pi}{8} + \frac{0}{16} = \frac{\pi}{8}$.

Ответ: $\frac{\pi}{8}$.

4) Вычислим определенный интеграл $\int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} \sin^2\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \,dx$.

Используем формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Здесь $\alpha = x - \frac{\pi}{3}$, значит $2\alpha = 2x - \frac{2\pi}{3}$.

$\sin^2\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1 - \cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$.

Интегрируем полученное выражение:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)\right) \,dx = \left[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right) \right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \left. \left(\frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)\right) \right|_0^{\frac{\pi}{3}}$.

Подставляем пределы интегрирования:

$\left(\frac{\pi/3}{2} - \frac{1}{4}\sin\left(2\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}\right)\right) - \left(\frac{0}{2} - \frac{1}{4}\sin\left(2 \cdot 0 - \frac{2\pi}{3}\right)\right) = \left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{4}\sin(0)\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)$.

Так как $\sin(0)=0$ и $\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\frac{\pi}{6} - 0 + \frac{1}{4}\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{4}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{24}$.

Ответ: $\frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{24}$.