Номер 375, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 375, страница 154.
№375 (с. 154)
Условие. №375 (с. 154)
скриншот условия

375. 1) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx;$
2) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \cos \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) dx;$
3) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 4x dx;$
4) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 \left(x - \frac{\pi}{3}\right) dx.$
Решение 1. №375 (с. 154)




Решение 2. №375 (с. 154)

Решение 3. №375 (с. 154)
1) Вычислим определенный интеграл $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \,dx$.
Первообразная для функции $f(x) = \sin 2x$ находится по формуле $\int \sin(kx) \,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.
В нашем случае $k=2$, поэтому первообразная $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$:
$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \,dx = \left. -\frac{1}{2}\cos 2x \right|_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0)\right) = \left(-\frac{1}{2}\cos(\pi)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos(0)\right) = \left(-\frac{1}{2} \cdot (-1)\right) - \left(-\frac{1}{2} \cdot 1\right) = \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
Ответ: 1.
2) Вычислим определенный интеграл $\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) \,dx$.
Первообразная для функции $f(x) = \cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$ находится по формуле $\int \cos(kx+b) \,dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$.
Здесь $k=3$, $b=-\frac{\pi}{4}$. Первообразная $F(x) = \frac{1}{3}\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) \,dx = \left. \frac{1}{3}\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) \right|_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} = \frac{1}{3}\sin\left(3\pi - \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{3}\sin\left(3\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{3}\sin\left(\frac{11\pi}{4}\right) - \frac{1}{3}\sin\left(\frac{2\pi}{4}\right) = \frac{1}{3}\sin\left(2\pi + \frac{3\pi}{4}\right) - \frac{1}{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$.
Так как $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, получаем:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{6} - \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{2}-2}{6}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}-2}{6}$.
3) Вычислим определенный интеграл $\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 4x \,dx$.
Для интегрирования используем формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.
В нашем случае $\alpha = 4x$, поэтому $\cos^2 4x = \frac{1 + \cos(8x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(8x)$.
Теперь интегрируем полученное выражение:
$\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(8x)\right) \,dx = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} \,dx + \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2}\cos(8x) \,dx = \left[ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}\sin(8x) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \left. \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin(8x)}{16}\right) \right|_0^{\frac{\pi}{4}}$.
Подставляем пределы интегрирования:
$\left(\frac{\pi/4}{2} + \frac{\sin(8 \cdot \pi/4)}{16}\right) - \left(\frac{0}{2} + \frac{\sin(8 \cdot 0)}{16}\right) = \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\sin(2\pi)}{16}\right) - (0 + 0) = \frac{\pi}{8} + \frac{0}{16} = \frac{\pi}{8}$.
Ответ: $\frac{\pi}{8}$.
4) Вычислим определенный интеграл $\int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} \sin^2\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \,dx$.
Используем формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.
Здесь $\alpha = x - \frac{\pi}{3}$, значит $2\alpha = 2x - \frac{2\pi}{3}$.
$\sin^2\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1 - \cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$.
Интегрируем полученное выражение:
$\int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)\right) \,dx = \left[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right) \right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \left. \left(\frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)\right) \right|_0^{\frac{\pi}{3}}$.
Подставляем пределы интегрирования:
$\left(\frac{\pi/3}{2} - \frac{1}{4}\sin\left(2\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}\right)\right) - \left(\frac{0}{2} - \frac{1}{4}\sin\left(2 \cdot 0 - \frac{2\pi}{3}\right)\right) = \left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{4}\sin(0)\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)$.
Так как $\sin(0)=0$ и $\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$\frac{\pi}{6} - 0 + \frac{1}{4}\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{4}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{24}$.
Ответ: $\frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{24}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 375 расположенного на странице 154 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №375 (с. 154), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.