Номер 368, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление - номер 368, страница 153.

Условие.

368. 1) $\int_1^e \frac{1}{x} dx;$

2) $\int_0^{\ln 2} e^x dx;$

3) $\int_{-2\pi}^{\pi} \sin x dx;$

4) $\int_{-3\pi}^{4 \atop 0} \cos 3x dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$ используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ есть $F(x) = \ln|x|$. Так как интегрирование происходит на отрезке $[1, e]$, где $x > 0$, то $|x| = x$ и $F(x) = \ln x$.

Подставляем пределы интегрирования:

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = \ln x \Big|_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.

Ответ: $1$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\ln 2} e^x dx$ найдем первообразную.

Первообразной для функции $f(x) = e^x$ является сама функция $F(x) = e^x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\ln 2} e^x dx = e^x \Big|_{0}^{\ln 2} = e^{\ln 2} - e^0 = 2 - 1 = 1$.

Ответ: $1$.

3) Для вычисления интеграла $\int_{-2\pi}^{\pi} \sin x dx$ найдем первообразную.

Первообразной для функции $f(x) = \sin x$ является функция $F(x) = -\cos x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2\pi}^{\pi} \sin x dx = (-\cos x) \Big|_{-2\pi}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(-2\pi))$.

Зная, что $\cos(\pi) = -1$ и $\cos(-2\pi) = \cos(2\pi) = 1$, получаем:

$(-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $2$.

4) Для вычисления интеграла $\int_{-3\pi}^{0} \cos 3x dx$ найдем первообразную.

Первообразной для функции $f(x) = \cos 3x$ является функция $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-3\pi}^{0} \cos 3x dx = \frac{1}{3}\sin 3x \Big|_{-3\pi}^{0} = \frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0) - \frac{1}{3}\sin(3 \cdot (-3\pi)) = \frac{1}{3}\sin(0) - \frac{1}{3}\sin(-9\pi)$.

Так как синус любого целого кратного $\pi$ равен нулю, то $\sin(0) = 0$ и $\sin(-9\pi) = 0$.

$\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 = 0 - 0 = 0$.

Ответ: $0$.