Номер 368, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 368, страница 153.
№368 (с. 153)
Условие. №368 (с. 153)
скриншот условия

368. 1) $\int_1^e \frac{1}{x} dx;$
2) $\int_0^{\ln 2} e^x dx;$
3) $\int_{-2\pi}^{\pi} \sin x dx;$
4) $\int_{-3\pi}^{4 \atop 0} \cos 3x dx.$
Решение 1. №368 (с. 153)




Решение 2. №368 (с. 153)

Решение 3. №368 (с. 153)
1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$ используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ есть $F(x) = \ln|x|$. Так как интегрирование происходит на отрезке $[1, e]$, где $x > 0$, то $|x| = x$ и $F(x) = \ln x$.
Подставляем пределы интегрирования:
$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = \ln x \Big|_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$.
Ответ: $1$.
2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\ln 2} e^x dx$ найдем первообразную.
Первообразной для функции $f(x) = e^x$ является сама функция $F(x) = e^x$.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{\ln 2} e^x dx = e^x \Big|_{0}^{\ln 2} = e^{\ln 2} - e^0 = 2 - 1 = 1$.
Ответ: $1$.
3) Для вычисления интеграла $\int_{-2\pi}^{\pi} \sin x dx$ найдем первообразную.
Первообразной для функции $f(x) = \sin x$ является функция $F(x) = -\cos x$.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-2\pi}^{\pi} \sin x dx = (-\cos x) \Big|_{-2\pi}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(-2\pi))$.
Зная, что $\cos(\pi) = -1$ и $\cos(-2\pi) = \cos(2\pi) = 1$, получаем:
$(-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$.
Ответ: $2$.
4) Для вычисления интеграла $\int_{-3\pi}^{0} \cos 3x dx$ найдем первообразную.
Первообразной для функции $f(x) = \cos 3x$ является функция $F(x) = \frac{1}{3}\sin 3x$.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-3\pi}^{0} \cos 3x dx = \frac{1}{3}\sin 3x \Big|_{-3\pi}^{0} = \frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0) - \frac{1}{3}\sin(3 \cdot (-3\pi)) = \frac{1}{3}\sin(0) - \frac{1}{3}\sin(-9\pi)$.
Так как синус любого целого кратного $\pi$ равен нулю, то $\sin(0) = 0$ и $\sin(-9\pi) = 0$.
$\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 = 0 - 0 = 0$.
Ответ: $0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 368 расположенного на странице 153 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №368 (с. 153), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.