Номер 361, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 2. Правила нахождения первообразных - номер 361, страница 147.

Условие.

361. 1) $e^{3x} - \cos 2x;$

2) $e^{\frac{x}{3}} + \sin 3x;$

3) $2\sin \frac{x}{3} - 5e^{2x+\frac{1}{5}};$

4) $3\cos \frac{x}{7} + 2e^{3x-\frac{1}{2}};$

5) $5\sqrt{\frac{x}{4}} - 5\cos(6x-1);$

6) $\sqrt{\frac{x}{5}} + 4\sin(4x+2);$

7) $\frac{3}{\sqrt[3]{2x-1}};$

8) $\frac{4}{\sqrt{3x+1}} - \frac{3}{2x-5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения всех первообразных функции $f(x) = e^{3x} - \cos(2x)$ необходимо вычислить неопределенный интеграл.
$F(x) = \int (e^{3x} - \cos(2x)) dx = \int e^{3x} dx - \int \cos(2x) dx$.
Применяем табличные интегралы для экспоненты и косинуса: $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ и $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$.
Для первого слагаемого $k=3$, поэтому $\int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x}$.
Для второго слагаемого $k=2$, поэтому $\int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
Следовательно, искомая совокупность первообразных:
$F(x) = \frac{1}{3}e^{3x} - \frac{1}{2}\sin(2x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{3}e^{3x} - \frac{1}{2}\sin(2x) + C$.

2) Найдем первообразную для функции $f(x) = e^{\frac{x}{3}} + \sin(3x)$.
$F(x) = \int (e^{\frac{x}{3}} + \sin(3x)) dx = \int e^{\frac{x}{3}} dx + \int \sin(3x) dx$.
Используем табличные интегралы: $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ и $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.
Для первого слагаемого $k=\frac{1}{3}$, получаем $\int e^{\frac{x}{3}} dx = \frac{1}{1/3}e^{\frac{x}{3}} = 3e^{\frac{x}{3}}$.
Для второго слагаемого $k=3$, получаем $\int \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}\cos(3x)$.
Следовательно, искомая совокупность первообразных:
$F(x) = 3e^{\frac{x}{3}} - \frac{1}{3}\cos(3x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 3e^{\frac{x}{3}} - \frac{1}{3}\cos(3x) + C$.

3) Найдем первообразную для функции $f(x) = 2\sin\frac{x}{3} - 5e^{2x+\frac{1}{5}}$.
$F(x) = \int (2\sin\frac{x}{3} - 5e^{2x+\frac{1}{5}}) dx = 2\int \sin\frac{x}{3} dx - 5\int e^{2x+\frac{1}{5}} dx$.
Используем формулы: $\int \sin(kx+b) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$ и $\int e^{kx+b} dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C$.
Для первого интеграла $k=\frac{1}{3}$: $2 \cdot (-\frac{1}{1/3}\cos\frac{x}{3}) = 2 \cdot (-3\cos\frac{x}{3}) = -6\cos\frac{x}{3}$.
Для второго интеграла $k=2$: $-5 \cdot (\frac{1}{2}e^{2x+\frac{1}{5}}) = -\frac{5}{2}e^{2x+\frac{1}{5}}$.
Следовательно, искомая совокупность первообразных:
$F(x) = -6\cos\frac{x}{3} - \frac{5}{2}e^{2x+\frac{1}{5}} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -6\cos\frac{x}{3} - \frac{5}{2}e^{2x+\frac{1}{5}} + C$.

4) Найдем первообразную для функции $f(x) = 3\cos\frac{x}{7} + 2e^{3x-\frac{1}{2}}$.
$F(x) = \int (3\cos\frac{x}{7} + 2e^{3x-\frac{1}{2}}) dx = 3\int \cos\frac{x}{7} dx + 2\int e^{3x-\frac{1}{2}} dx$.
Используем формулы: $\int \cos(kx+b) dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$ и $\int e^{kx+b} dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C$.
Для первого интеграла $k=\frac{1}{7}$: $3 \cdot (\frac{1}{1/7}\sin\frac{x}{7}) = 3 \cdot (7\sin\frac{x}{7}) = 21\sin\frac{x}{7}$.
Для второго интеграла $k=3$: $2 \cdot (\frac{1}{3}e^{3x-\frac{1}{2}}) = \frac{2}{3}e^{3x-\frac{1}{2}}$.
Следовательно, искомая совокупность первообразных:
$F(x) = 21\sin\frac{x}{7} + \frac{2}{3}e^{3x-\frac{1}{2}} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 21\sin\frac{x}{7} + \frac{2}{3}e^{3x-\frac{1}{2}} + C$.

5) Найдем первообразную для функции $f(x) = 5\sqrt{\frac{x}{4}} - 5\cos(6x-1)$.
Упростим выражение: $f(x) = 5\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4}} - 5\cos(6x-1) = \frac{5}{2}x^{1/2} - 5\cos(6x-1)$.
$F(x) = \int (\frac{5}{2}x^{1/2} - 5\cos(6x-1)) dx = \frac{5}{2}\int x^{1/2} dx - 5\int \cos(6x-1) dx$.
Используем формулы: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int \cos(kx+b) dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$.
Для первого интеграла $n=1/2$: $\frac{5}{2} \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{5}{3}x^{3/2}$.
Для второго интеграла $k=6$: $-5 \cdot (\frac{1}{6}\sin(6x-1)) = -\frac{5}{6}\sin(6x-1)$.
Следовательно, искомая совокупность первообразных:
$F(x) = \frac{5}{3}x^{3/2} - \frac{5}{6}\sin(6x-1) + C$, или $F(x) = \frac{5}{3}x\sqrt{x} - \frac{5}{6}\sin(6x-1) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{5}{3}x\sqrt{x} - \frac{5}{6}\sin(6x-1) + C$.

6) Найдем первообразную для функции $f(x) = \sqrt{\frac{x}{5}} + 4\sin(4x+2)$.
Упростим выражение: $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}} + 4\sin(4x+2) = \frac{1}{\sqrt{5}}x^{1/2} + 4\sin(4x+2)$.
$F(x) = \int (\frac{1}{\sqrt{5}}x^{1/2} + 4\sin(4x+2)) dx = \frac{1}{\sqrt{5}}\int x^{1/2} dx + 4\int \sin(4x+2) dx$.
Используем формулы: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int \sin(kx+b) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$.
Для первого интеграла $n=1/2$: $\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3\sqrt{5}}x^{3/2} = \frac{2\sqrt{5}}{15}x^{3/2}$.
Для второго интеграла $k=4$: $4 \cdot (-\frac{1}{4}\cos(4x+2)) = -\cos(4x+2)$.
Следовательно, искомая совокупность первообразных:
$F(x) = \frac{2\sqrt{5}}{15}x^{3/2} - \cos(4x+2) + C$, или $F(x) = \frac{2\sqrt{5}}{15}x\sqrt{x} - \cos(4x+2) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{2\sqrt{5}}{15}x\sqrt{x} - \cos(4x+2) + C$.

7) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{3}{\sqrt[3]{2x-1}}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = 3(2x-1)^{-1/3}$.
$F(x) = \int 3(2x-1)^{-1/3} dx = 3\int (2x-1)^{-1/3} dx$.
Используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
Здесь $k=2, b=-1, n=-1/3$.
$F(x) = 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-1)^{-1/3+1}}{-1/3+1} \right) + C = 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-1)^{2/3}}{2/3} \right) + C = 3 \cdot \left( \frac{3}{4} (2x-1)^{2/3} \right) + C = \frac{9}{4}(2x-1)^{2/3} + C$.
Результат можно записать с использованием корня: $F(x) = \frac{9}{4}\sqrt[3]{(2x-1)^2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{9}{4}\sqrt[3]{(2x-1)^2} + C$.

8) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{4}{\sqrt{3x+1}} - \frac{3}{2x-5}$.
Представим функцию в виде: $f(x) = 4(3x+1)^{-1/2} - 3(2x-5)^{-1}$.
$F(x) = \int (4(3x+1)^{-1/2} - 3(2x-5)^{-1}) dx = 4\int (3x+1)^{-1/2} dx - 3\int \frac{1}{2x-5} dx$.
Для первого интеграла используем формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
Здесь $k=3, n=-1/2$: $4 \cdot \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x+1)^{-1/2+1}}{-1/2+1} \right) = 4 \cdot \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x+1)^{1/2}}{1/2} \right) = \frac{8}{3}\sqrt{3x+1}$.
Для второго интеграла используем формулу $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$.
Здесь $k=2$: $-3 \cdot (\frac{1}{2}\ln|2x-5|) = -\frac{3}{2}\ln|2x-5|$.
Следовательно, искомая совокупность первообразных:
$F(x) = \frac{8}{3}\sqrt{3x+1} - \frac{3}{2}\ln|2x-5| + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{8}{3}\sqrt{3x+1} - \frac{3}{2}\ln|2x-5| + C$.