Номер 360, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 2. Правила нахождения первообразных - номер 360, страница 146.

Условие.

7) $\sqrt{3}-2x;$

8) $\sqrt{2}-3x.$

360. 1) $cos(3x + 4);$

2) $sin(3x - 4);$

3) $cos(\frac{x}{2} - 1);$

4) $sin(\frac{x}{4} + 5);$

5) $e^{\frac{x+1}{2}};$

6) $e^{3x-5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Требуется найти первообразную для функции $y = \cos(3x+4)$. Это сложная функция вида $f(kx+b)$, где $f(u) = \cos(u)$, а внутренняя функция $u=3x+4$. Здесь коэффициент $k=3$.
Первообразная для функции $\cos(x)$ есть $\sin(x)$. Для нахождения первообразной сложной функции $f(kx+b)$ используется правило: $F(x) = \frac{1}{k}F_0(kx+b) + C$, где $F_0$ — первообразная для $f$.
Применяя это правило, получаем:
$F(x) = \int \cos(3x+4) dx = \frac{1}{3}\sin(3x+4) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $\frac{1}{3}\sin(3x+4) + C$.

2) Требуется найти первообразную для функции $y = \sin(3x-4)$. Это сложная функция вида $f(kx+b)$, где $f(u) = \sin(u)$, а внутренняя функция $u=3x-4$. Здесь коэффициент $k=3$.
Первообразная для функции $\sin(x)$ есть $-\cos(x)$.
Применяя правило нахождения первообразной для сложной функции, получаем:
$F(x) = \int \sin(3x-4) dx = \frac{1}{3}(-\cos(3x-4)) + C = -\frac{1}{3}\cos(3x-4) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $-\frac{1}{3}\cos(3x-4) + C$.

3) Требуется найти первообразную для функции $y = \cos(\frac{x}{2}-1)$. Это сложная функция вида $f(kx+b)$, где $f(u) = \cos(u)$, а внутренняя функция $u=\frac{x}{2}-1$. Здесь коэффициент $k=\frac{1}{2}$.
Первообразная для функции $\cos(x)$ есть $\sin(x)$.
Применяя правило, получаем:
$F(x) = \int \cos(\frac{x}{2}-1) dx = \frac{1}{1/2}\sin(\frac{x}{2}-1) + C = 2\sin(\frac{x}{2}-1) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $2\sin(\frac{x}{2}-1) + C$.

4) Требуется найти первообразную для функции $y = \sin(\frac{x}{4}+5)$. Это сложная функция вида $f(kx+b)$, где $f(u) = \sin(u)$, а внутренняя функция $u=\frac{x}{4}+5$. Здесь коэффициент $k=\frac{1}{4}$.
Первообразная для функции $\sin(x)$ есть $-\cos(x)$.
Применяя правило, получаем:
$F(x) = \int \sin(\frac{x}{4}+5) dx = \frac{1}{1/4}(-\cos(\frac{x}{4}+5)) + C = -4\cos(\frac{x}{4}+5) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $-4\cos(\frac{x}{4}+5) + C$.

5) Требуется найти первообразную для функции $y = e^{\frac{x+1}{2}}$. Перепишем показатель степени: $\frac{x+1}{2} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.
Это сложная функция вида $f(kx+b)$, где $f(u) = e^u$, а внутренняя функция $u=\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$. Здесь коэффициент $k=\frac{1}{2}$.
Первообразная для функции $e^x$ есть сама функция $e^x$.
Применяя правило, получаем:
$F(x) = \int e^{\frac{x+1}{2}} dx = \frac{1}{1/2}e^{\frac{x+1}{2}} + C = 2e^{\frac{x+1}{2}} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $2e^{\frac{x+1}{2}} + C$.

6) Требуется найти первообразную для функции $y = e^{3x-5}$. Это сложная функция вида $f(kx+b)$, где $f(u) = e^u$, а внутренняя функция $u=3x-5$. Здесь коэффициент $k=3$.
Первообразная для функции $e^x$ есть сама функция $e^x$.
Применяя правило, получаем:
$F(x) = \int e^{3x-5} dx = \frac{1}{3}e^{3x-5} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $\frac{1}{3}e^{3x-5} + C$.