Номер 366, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление - номер 366, страница 153.

Условие.

366. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой $x = b$, осью $Ox$ и графиком функции $y = f(x)$, если:

1) $b=3, f(x)=x^2;$

2) $b=2, f(x)=x^3;$

3) $b=4, f(x)=\sqrt{x};$

4) $b=8, f(x)=\sqrt[3]{x};$

5) $b=2, f(x)=5x-x^2;$

6) $b=3, f(x)=x^2+2x;$

7) $b=1, f(x)=e^x-1;$

8) $b=2, f(x)=1-\frac{1}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) b = 3, f(x) = x². Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена графиком функции $y = x^2$, осью Ox ($y=0$) и прямыми $x=0$ и $x=3$. Так как на отрезке $[0, 3]$ функция $f(x) = x^2$ неотрицательна ($x^2 \ge 0$), площадь вычисляется с помощью определенного интеграла: $S = \int_{0}^{3} x^2 dx$. Найдем первообразную для функции $f(x) = x^2$. Это $F(x) = \frac{x^3}{3}$. Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница: $S = F(3) - F(0) = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$.
Ответ: 9.

2) b = 2, f(x) = x³. Фигура ограничена графиком функции $y = x^3$, осью Ox ($y=0$) и прямыми $x=0$ и $x=2$. На отрезке $[0, 2]$ функция $f(x) = x^3$ неотрицательна. Площадь вычисляется по формуле: $S = \int_{0}^{2} x^3 dx$. Первообразная для $f(x) = x^3$ есть $F(x) = \frac{x^4}{4}$. Вычисляем площадь: $S = F(2) - F(0) = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} - 0 = 4$.
Ответ: 4.

3) b = 4, f(x) = √x. Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$, осью Ox ($y=0$) и прямыми $x=0$ и $x=4$. На отрезке $[0, 4]$ функция $f(x) = \sqrt{x}$ неотрицательна. Площадь вычисляется как: $S = \int_{0}^{4} \sqrt{x} dx = \int_{0}^{4} x^{1/2} dx$. Первообразная для $f(x) = x^{1/2}$ есть $F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$. Вычисляем площадь: $S = F(4) - F(0) = \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot (\sqrt{4})^3 - 0 = \frac{2}{3} \cdot 2^3 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$.
Ответ: $\frac{16}{3}$.

4) b = 8, f(x) = ³√x. Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt[3]{x}$, осью Ox ($y=0$) и прямыми $x=0$ и $x=8$. На отрезке $[0, 8]$ функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ неотрицательна. Площадь вычисляется как: $S = \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} dx = \int_{0}^{8} x^{1/3} dx$. Первообразная для $f(x) = x^{1/3}$ есть $F(x) = \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} = \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}x^{4/3}$. Вычисляем площадь: $S = F(8) - F(0) = \frac{3}{4} \cdot 8^{4/3} - \frac{3}{4} \cdot 0^{4/3} = \frac{3}{4} \cdot (\sqrt[3]{8})^4 - 0 = \frac{3}{4} \cdot 2^4 = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12$.
Ответ: 12.

5) b = 2, f(x) = 5x - x². Найдем точки пересечения графика с осью Ox: $f(x) = 0 \Rightarrow 5x - x^2 = 0 \Rightarrow x(5-x)=0$. Корни: $x_1 = 0, x_2 = 5$. Фигура ограничена графиком $y = 5x - x^2$, осью Ox и прямыми $x=0$ и $x=b=2$. На отрезке $[0, 2]$ функция $f(x) \ge 0$. Площадь вычисляется как: $S = \int_{0}^{2} (5x - x^2) dx$. Первообразная для $f(x) = 5x - x^2$ есть $F(x) = 5\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$. Вычисляем площадь: $S = F(2) - F(0) = \left(5\frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3}\right) - (0) = \left(5 \cdot 2 - \frac{8}{3}\right) = 10 - \frac{8}{3} = \frac{30-8}{3} = \frac{22}{3}$.
Ответ: $\frac{22}{3}$.

6) b = 3, f(x) = x² + 2x. Найдем точки пересечения графика с осью Ox: $f(x) = 0 \Rightarrow x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(x+2)=0$. Корни: $x_1 = -2, x_2 = 0$. Фигура ограничена графиком $y = x^2 + 2x$, осью Ox и прямыми $x=0$ и $x=b=3$. На отрезке $[0, 3]$ функция $f(x) \ge 0$. Площадь вычисляется как: $S = \int_{0}^{3} (x^2 + 2x) dx$. Первообразная для $f(x) = x^2 + 2x$ есть $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2$. Вычисляем площадь: $S = F(3) - F(0) = \left(\frac{3^3}{3} + 3^2\right) - (0) = (9 + 9) = 18$.
Ответ: 18.

7) b = 1, f(x) = eˣ - 1. Найдем точку пересечения графика с осью Ox: $f(x) = 0 \Rightarrow e^x - 1 = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x=0$. Фигура ограничена графиком $y = e^x - 1$, осью Ox и прямыми $x=0$ и $x=b=1$. На отрезке $[0, 1]$ функция $f(x) \ge 0$. Площадь вычисляется как: $S = \int_{0}^{1} (e^x - 1) dx$. Первообразная для $f(x) = e^x - 1$ есть $F(x) = e^x - x$. Вычисляем площадь: $S = F(1) - F(0) = (e^1 - 1) - (e^0 - 0) = (e - 1) - (1 - 0) = e - 2$.
Ответ: $e-2$.

8) b = 2, f(x) = 1 - 1/x. Найдем точку пересечения графика с осью Ox: $f(x) = 0 \Rightarrow 1 - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x=1$. Фигура ограничена графиком $y = 1 - 1/x$, осью Ox и прямыми $x=1$ и $x=b=2$. На отрезке $[1, 2]$ функция $f(x) \ge 0$. Площадь вычисляется как: $S = \int_{1}^{2} \left(1 - \frac{1}{x}\right) dx$. Первообразная для $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$ есть $F(x) = x - \ln|x|$. Вычисляем площадь: $S = F(2) - F(1) = (2 - \ln 2) - (1 - \ln 1) = 2 - \ln 2 - 1 + 0 = 1 - \ln 2$.
Ответ: $1 - \ln 2$.