Номер 372, страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 3. Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его вычисление - номер 372, страница 154.

Условие.

372. 1) $\int_{0}^{4} (x - 3\sqrt{x}) dx$

2) $\int_{1}^{9} (2x - \frac{3}{\sqrt{x}}) dx$

3) $\int_{-1}^{2} \frac{5x - 2}{\sqrt[3]{x}} dx$

4) $\int_{1}^{3} \frac{3x - 1}{\sqrt{x}} dx$

5) $\int_{1}^{4} \sqrt{x}(3 - \frac{7}{x}) dx$

6) $\int_{1}^{8} 4\sqrt[3]{x}(1 - \frac{4}{x}) dx$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Вычислим определенный интеграл $ \int_0^4 (x - 3\sqrt{x}) dx $.
Сначала преобразуем подынтегральное выражение, чтобы использовать правило степенного интегрирования: $ x - 3\sqrt{x} = x^1 - 3x^{1/2} $.
Найдем первообразную $ F(x) $ для функции $ f(x) = x - 3x^{1/2} $: $ F(x) = \int (x - 3x^{1/2}) dx = \int x dx - 3 \int x^{1/2} dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3 \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^2}{2} - 3 \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{x^2}{2} - 2x^{3/2} $.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $: $ \int_0^4 (x - 3\sqrt{x}) dx = \left. \left(\frac{x^2}{2} - 2x^{3/2}\right) \right|_0^4 = \left(\frac{4^2}{2} - 2 \cdot 4^{3/2}\right) - \left(\frac{0^2}{2} - 2 \cdot 0^{3/2}\right) $ $ = \left(\frac{16}{2} - 2 \cdot (\sqrt{4})^3\right) - 0 = (8 - 2 \cdot 2^3) = 8 - 2 \cdot 8 = 8 - 16 = -8 $.
Ответ: -8

2) Вычислим определенный интеграл $ \int_1^9 (2x - \frac{3}{\sqrt{x}}) dx $.
Преобразуем подынтегральное выражение: $ 2x - \frac{3}{\sqrt{x}} = 2x - 3x^{-1/2} $.
Найдем первообразную $ F(x) $: $ F(x) = \int (2x - 3x^{-1/2}) dx = 2 \int x dx - 3 \int x^{-1/2} dx = 2 \frac{x^2}{2} - 3 \frac{x^{1/2}}{1/2} = x^2 - 6x^{1/2} = x^2 - 6\sqrt{x} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_1^9 (2x - \frac{3}{\sqrt{x}}) dx = \left. (x^2 - 6\sqrt{x}) \right|_1^9 = (9^2 - 6\sqrt{9}) - (1^2 - 6\sqrt{1}) $ $ = (81 - 6 \cdot 3) - (1 - 6) = (81 - 18) - (-5) = 63 + 5 = 68 $.
Ответ: 68

3) Вычислим определенный интеграл $ \int_{-1}^2 \frac{5x - 2}{\sqrt[3]{x}} dx $.
Разделим числитель на знаменатель, чтобы упростить выражение: $ \frac{5x - 2}{\sqrt[3]{x}} = \frac{5x}{x^{1/3}} - \frac{2}{x^{1/3}} = 5x^{1 - 1/3} - 2x^{-1/3} = 5x^{2/3} - 2x^{-1/3} $.
Найдем первообразную $ F(x) $: $ F(x) = \int (5x^{2/3} - 2x^{-1/3}) dx = 5 \frac{x^{5/3}}{5/3} - 2 \frac{x^{2/3}}{2/3} = 3x^{5/3} - 3x^{2/3} $.
Подынтегральная функция имеет разрыв в точке $ x=0 $, но ее первообразная непрерывна на отрезке $ [-1, 2] $, поэтому формула Ньютона-Лейбница применима.
$ \int_{-1}^2 \frac{5x - 2}{\sqrt[3]{x}} dx = \left. (3x^{5/3} - 3x^{2/3}) \right|_{-1}^2 = (3 \cdot 2^{5/3} - 3 \cdot 2^{2/3}) - (3 \cdot (-1)^{5/3} - 3 \cdot (-1)^{2/3}) $ $ = (3\sqrt[3]{2^5} - 3\sqrt[3]{2^2}) - (3(-1) - 3(1)) = (3\sqrt[3]{32} - 3\sqrt[3]{4}) - (-3 - 3) = (3 \cdot 2\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{4}) - (-6) = 3\sqrt[3]{4} + 6 $.
Ответ: $ 3\sqrt[3]{4} + 6 $

4) Вычислим определенный интеграл $ \int_1^3 \frac{3x - 1}{\sqrt{x}} dx $.
Упростим подынтегральное выражение: $ \frac{3x - 1}{\sqrt{x}} = \frac{3x}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 3x^{1/2} - x^{-1/2} $.
Найдем первообразную $ F(x) $: $ F(x) = \int (3x^{1/2} - x^{-1/2}) dx = 3 \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{3/2} - 2x^{1/2} = 2x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_1^3 \frac{3x - 1}{\sqrt{x}} dx = \left. (2x^{3/2} - 2x^{1/2}) \right|_1^3 = (2 \cdot 3^{3/2} - 2 \cdot 3^{1/2}) - (2 \cdot 1^{3/2} - 2 \cdot 1^{1/2}) $ $ = (2 \cdot 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - (2 - 2) = 4\sqrt{3} - 0 = 4\sqrt{3} $.
Ответ: $ 4\sqrt{3} $

5) Вычислим определенный интеграл $ \int_1^4 \sqrt{x}(3 - \frac{7}{x}) dx $.
Раскроем скобки в подынтегральном выражении: $ \sqrt{x}(3 - \frac{7}{x}) = 3\sqrt{x} - \frac{7\sqrt{x}}{x} = 3x^{1/2} - 7x^{-1/2} $.
Найдем первообразную $ F(x) $: $ F(x) = \int (3x^{1/2} - 7x^{-1/2}) dx = 3 \frac{x^{3/2}}{3/2} - 7 \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{3/2} - 14x^{1/2} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_1^4 \sqrt{x}(3 - \frac{7}{x}) dx = \left. (2x^{3/2} - 14x^{1/2}) \right|_1^4 = (2 \cdot 4^{3/2} - 14 \cdot 4^{1/2}) - (2 \cdot 1^{3/2} - 14 \cdot 1^{1/2}) $ $ = (2 \cdot (\sqrt{4})^3 - 14\sqrt{4}) - (2 - 14) = (2 \cdot 8 - 14 \cdot 2) - (-12) = (16 - 28) + 12 = -12 + 12 = 0 $.
Ответ: 0

6) Вычислим определенный интеграл $ \int_1^8 4\sqrt[3]{x}(1 - \frac{4}{x}) dx $.
Упростим подынтегральное выражение: $ 4\sqrt[3]{x}(1 - \frac{4}{x}) = 4x^{1/3} - \frac{16x^{1/3}}{x} = 4x^{1/3} - 16x^{-2/3} $.
Найдем первообразную $ F(x) $: $ F(x) = \int (4x^{1/3} - 16x^{-2/3}) dx = 4 \frac{x^{4/3}}{4/3} - 16 \frac{x^{1/3}}{1/3} = 3x^{4/3} - 48x^{1/3} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_1^8 4\sqrt[3]{x}(1 - \frac{4}{x}) dx = \left. (3x^{4/3} - 48x^{1/3}) \right|_1^8 = (3 \cdot 8^{4/3} - 48 \cdot 8^{1/3}) - (3 \cdot 1^{4/3} - 48 \cdot 1^{1/3}) $ $ = (3 \cdot (\sqrt[3]{8})^4 - 48\sqrt[3]{8}) - (3 - 48) = (3 \cdot 2^4 - 48 \cdot 2) - (-45) = (3 \cdot 16 - 96) + 45 = (48 - 96) + 45 = -48 + 45 = -3 $.
Ответ: -3