Страница 154 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

370. Изобразить фигуру, площадь которой равна данному интегралу, и вычислить эту площадь:

1) $\int_{-2}^{-3/2} (-2 - 3x) dx;$

2) $\int_{-2}^{3} (6 - 2x) dx;$

3) $\int_{0}^{4} (12 + x - x^2) dx;$

4) $\int_{0}^{-2} (x^2 - 3x) dx;$

5) $\int_{2\pi}^{3\pi} \sin x dx;$

6) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x dx;$

7) $\int_{-\pi/4}^{\pi/2} \cos x dx;$

8) $\int_{\pi/6}^{\pi} \sin x dx.$

1) $\int_{-2}^{-\frac{3}{2}} (-2 - 3x) dx$

Фигура, площадь которой равна данному интегралу, — это криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = -2 - 3x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -2$ и $x = -3/2$. Поскольку $y = -2 - 3x$ — это прямая линия, фигура является обычной трапецией. Найдем значения функции на концах отрезка: $y(-2) = -2 - 3(-2) = -2 + 6 = 4$. $y(-3/2) = -2 - 3(-3/2) = -2 + 9/2 = 5/2 = 2.5$. Так как на отрезке $[-2, -3/2]$ функция $y = -2 - 3x$ положительна, значение интеграла равно площади этой трапеции.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{-2}^{-\frac{3}{2}} (-2 - 3x) dx = \left. \left(-2x - \frac{3x^2}{2}\right) \right|_{-2}^{-\frac{3}{2}} =$ $= \left(-2\left(-\frac{3}{2}\right) - \frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)^2\right) - \left(-2(-2) - \frac{3}{2}(-2)^2\right) =$ $= \left(3 - \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4}\right) - \left(4 - \frac{3}{2} \cdot 4\right) = \left(3 - \frac{27}{8}\right) - (4 - 6) = \left(\frac{24 - 27}{8}\right) - (-2) = -\frac{3}{8} + 2 = \frac{13}{8}$.

Ответ: $\frac{13}{8}$.

2) $\int_{-2}^{3} (6 - 2x) dx$

Фигура, площадь которой равна данному интегралу, — это криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = 6 - 2x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -2$ и $x = 3$. Поскольку $y = 6 - 2x$ — это прямая линия, а значение функции в точке $x=3$ равно $y(3) = 6 - 2(3) = 0$, фигура является прямоугольным треугольником. На отрезке $[-2, 3]$ функция $y = 6 - 2x$ неотрицательна, так как $y(-2)=10 > 0$ и $y(3)=0$.

Вычислим интеграл: $\int_{-2}^{3} (6 - 2x) dx = \left. \left(6x - x^2\right) \right|_{-2}^{3} =$ $= (6 \cdot 3 - 3^2) - (6(-2) - (-2)^2) = (18 - 9) - (-12 - 4) = 9 - (-16) = 25$.

Ответ: $25$.

3) $\int_{0}^{4} (12 + x - x^2) dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная параболой $y = 12 + x - x^2$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = 0$ и $x = 4$. Найдем корни уравнения $12 + x - x^2 = 0$, или $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому на интервале $(-3, 4)$ функция положительна. Следовательно, на отрезке $[0, 4]$ функция $y = 12 + x - x^2$ неотрицательна.

Вычислим интеграл: $\int_{0}^{4} (12 + x - x^2) dx = \left. \left(12x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right) \right|_{0}^{4} =$ $= \left(12 \cdot 4 + \frac{4^2}{2} - \frac{4^3}{3}\right) - (0) = 48 + \frac{16}{2} - \frac{64}{3} = 48 + 8 - \frac{64}{3} = 56 - \frac{64}{3} = \frac{168 - 64}{3} = \frac{104}{3}$.

Ответ: $\frac{104}{3}$.

4) $\int_{-2}^{0} (x^2 - 3x) dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная параболой $y = x^2 - 3x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -2$ и $x = 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x = 0$, то есть $x(x - 3) = 0$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому на интервале $(-\infty, 0)$ функция положительна. Следовательно, на отрезке $[-2, 0]$ функция $y = x^2 - 3x$ неотрицательна.

Вычислим интеграл: $\int_{-2}^{0} (x^2 - 3x) dx = \left. \left(\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\right) \right|_{-2}^{0} =$ $= (0) - \left(\frac{(-2)^3}{3} - \frac{3(-2)^2}{2}\right) = -\left(-\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 4}{2}\right) = -\left(-\frac{8}{3} - 6\right) = \frac{8}{3} + 6 = \frac{8 + 18}{3} = \frac{26}{3}$.

Ответ: $\frac{26}{3}$.

5) $\int_{2\pi}^{3\pi} \sin x \, dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = \sin x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = 2\pi$ и $x = 3\pi$. На отрезке $[2\pi, 3\pi]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна (это одна "положительная" полуволна синусоиды).

Вычислим интеграл: $\int_{2\pi}^{3\pi} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_{2\pi}^{3\pi} =$ $= (-\cos(3\pi)) - (-\cos(2\pi)) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $2$.

6) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = \cos x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -\pi/2$ и $x = \pi/2$. На отрезке $[-\pi/2, \pi/2]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна (это центральная "положительная" полуволна косинусоиды).

Вычислим интеграл: $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \left. (\sin x) \right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} =$ $= \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$.

Ответ: $2$.

7) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = \cos x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -\pi/4$ и $x = \pi/2$. На отрезке $[-\pi/4, \pi/2]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна.

Вычислим интеграл: $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \left. (\sin x) \right|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} =$ $= \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{4}) = 1 - (-\sin(\frac{\pi}{4})) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

8) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \sin x \, dx$

Фигура — криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = \sin x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = \pi/6$ и $x = \pi$. На отрезке $[\pi/6, \pi]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна, так как он является частью отрезка $[0, \pi]$, на котором синус неотрицателен.

Вычислим интеграл: $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} =$ $= (-\cos(\pi)) - (-\cos(\frac{\pi}{6})) = (-(-1)) - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вычислить интеграл (371–375).

371.

1) $\int_{-2}^{1} x(x+3)(2x-1) dx;$

2) $\int_{1}^{2} \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 dx;$

3) $\int_{-1}^{0} (x+1)(x^2-2) dx;$

4) $\int_{-2}^{-1} \frac{4}{x^2}\left(1-\frac{2}{x}\right) dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{-2}^{1} x(x+3)(2x-1) dx$ сначала упростим подынтегральное выражение, раскрыв скобки.

$x(x+3)(2x-1) = (x^2 + 3x)(2x-1) = 2x^3 - x^2 + 6x^2 - 3x = 2x^3 + 5x^2 - 3x$.

Теперь задача сводится к вычислению интеграла от многочлена:

$\int_{-2}^{1} (2x^3 + 5x^2 - 3x) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции, используя формулу степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:

$F(x) = \int (2x^3 + 5x^2 - 3x) dx = 2\frac{x^4}{4} + 5\frac{x^3}{3} - 3\frac{x^2}{2} = \frac{1}{2}x^4 + \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$. Вычислим значения первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

$F(1) = \frac{1}{2}(1)^4 + \frac{5}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 = \frac{1}{2} + \frac{5}{3} - \frac{3}{2} = \frac{3+10-9}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

$F(-2) = \frac{1}{2}(-2)^4 + \frac{5}{3}(-2)^3 - \frac{3}{2}(-2)^2 = \frac{1}{2}(16) + \frac{5}{3}(-8) - \frac{3}{2}(4) = 8 - \frac{40}{3} - 6 = 2 - \frac{40}{3} = \frac{6-40}{3} = -\frac{34}{3}$.

Теперь найдем значение интеграла как разность значений первообразной:

$\int_{-2}^{1} x(x+3)(2x-1) dx = F(1) - F(-2) = \frac{2}{3} - (-\frac{34}{3}) = \frac{2+34}{3} = \frac{36}{3} = 12$.

Ответ: $12$.

2) Рассмотрим интеграл $\int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x})^2 dx$. Сначала раскроем квадрат суммы в подынтегральном выражении:

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + x^{-2}$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{1}^{2} (x^2 + 2 + x^{-2}) dx$.

Находим первообразную для полученной функции:

$F(x) = \int (x^2 + 2 + x^{-2}) dx = \frac{x^3}{3} + 2x + \frac{x^{-1}}{-1} = \frac{x^3}{3} + 2x - \frac{1}{x}$.

Используем формулу Ньютона-Лейбница. Сначала вычислим значение первообразной в точке $x=2$:

$F(2) = \frac{2^3}{3} + 2(2) - \frac{1}{2} = \frac{8}{3} + 4 - \frac{1}{2} = \frac{16}{6} + \frac{24}{6} - \frac{3}{6} = \frac{16+24-3}{6} = \frac{37}{6}$.

Затем вычислим значение первообразной в точке $x=1$:

$F(1) = \frac{1^3}{3} + 2(1) - \frac{1}{1} = \frac{1}{3} + 2 - 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$.

Значение интеграла равно разности этих значений:

$\int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x})^2 dx = F(2) - F(1) = \frac{37}{6} - \frac{4}{3} = \frac{37}{6} - \frac{8}{6} = \frac{29}{6}$.

Ответ: $\frac{29}{6}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{0} (x+1)(x^2-2) dx$. Первым шагом раскроем скобки в подынтегральном выражении:

$(x+1)(x^2-2) = x^3 - 2x + x^2 - 2 = x^3 + x^2 - 2x - 2$.

Интеграл для вычисления:

$\int_{-1}^{0} (x^3 + x^2 - 2x - 2) dx$.

Найдем первообразную для данного многочлена:

$F(x) = \int (x^3 + x^2 - 2x - 2) dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} - 2x = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 - 2x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница. Вычислим значения первообразной на пределах интегрирования:

$F(0) = \frac{0^4}{4} + \frac{0^3}{3} - 0^2 - 2(0) = 0$.

$F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} + \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 - 2(-1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - 1 + 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{3-4+12}{12} = \frac{11}{12}$.

Вычисляем значение интеграла:

$\int_{-1}^{0} (x+1)(x^2-2) dx = F(0) - F(-1) = 0 - \frac{11}{12} = -\frac{11}{12}$.

Ответ: $-\frac{11}{12}$.

4) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} \frac{4}{x^2}(1-\frac{2}{x}) dx$. Упростим подынтегральное выражение:

$\frac{4}{x^2}(1-\frac{2}{x}) = \frac{4}{x^2} - \frac{8}{x^3} = 4x^{-2} - 8x^{-3}$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{-2}^{-1} (4x^{-2} - 8x^{-3}) dx$.

Найдем первообразную этой функции:

$F(x) = \int (4x^{-2} - 8x^{-3}) dx = 4\frac{x^{-1}}{-1} - 8\frac{x^{-2}}{-2} = -4x^{-1} + 4x^{-2} = -\frac{4}{x} + \frac{4}{x^2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница. Вычислим значения первообразной на верхнем и нижнем пределах:

$F(-1) = -\frac{4}{-1} + \frac{4}{(-1)^2} = 4 + \frac{4}{1} = 8$.

$F(-2) = -\frac{4}{-2} + \frac{4}{(-2)^2} = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$.

Найдем разность, чтобы получить значение интеграла:

$\int_{-2}^{-1} \frac{4}{x^2}(1-\frac{2}{x}) dx = F(-1) - F(-2) = 8 - 3 = 5$.

Ответ: $5$.

372. 1) $\int_{0}^{4} (x - 3\sqrt{x}) dx$

2) $\int_{1}^{9} (2x - \frac{3}{\sqrt{x}}) dx$

3) $\int_{-1}^{2} \frac{5x - 2}{\sqrt[3]{x}} dx$

4) $\int_{1}^{3} \frac{3x - 1}{\sqrt{x}} dx$

5) $\int_{1}^{4} \sqrt{x}(3 - \frac{7}{x}) dx$

6) $\int_{1}^{8} 4\sqrt[3]{x}(1 - \frac{4}{x}) dx$

1) Вычислим определенный интеграл $ \int_0^4 (x - 3\sqrt{x}) dx $.
Сначала преобразуем подынтегральное выражение, чтобы использовать правило степенного интегрирования: $ x - 3\sqrt{x} = x^1 - 3x^{1/2} $.
Найдем первообразную $ F(x) $ для функции $ f(x) = x - 3x^{1/2} $: $ F(x) = \int (x - 3x^{1/2}) dx = \int x dx - 3 \int x^{1/2} dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3 \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^2}{2} - 3 \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{x^2}{2} - 2x^{3/2} $.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $: $ \int_0^4 (x - 3\sqrt{x}) dx = \left. \left(\frac{x^2}{2} - 2x^{3/2}\right) \right|_0^4 = \left(\frac{4^2}{2} - 2 \cdot 4^{3/2}\right) - \left(\frac{0^2}{2} - 2 \cdot 0^{3/2}\right) $ $ = \left(\frac{16}{2} - 2 \cdot (\sqrt{4})^3\right) - 0 = (8 - 2 \cdot 2^3) = 8 - 2 \cdot 8 = 8 - 16 = -8 $.
Ответ: -8

2) Вычислим определенный интеграл $ \int_1^9 (2x - \frac{3}{\sqrt{x}}) dx $.
Преобразуем подынтегральное выражение: $ 2x - \frac{3}{\sqrt{x}} = 2x - 3x^{-1/2} $.
Найдем первообразную $ F(x) $: $ F(x) = \int (2x - 3x^{-1/2}) dx = 2 \int x dx - 3 \int x^{-1/2} dx = 2 \frac{x^2}{2} - 3 \frac{x^{1/2}}{1/2} = x^2 - 6x^{1/2} = x^2 - 6\sqrt{x} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_1^9 (2x - \frac{3}{\sqrt{x}}) dx = \left. (x^2 - 6\sqrt{x}) \right|_1^9 = (9^2 - 6\sqrt{9}) - (1^2 - 6\sqrt{1}) $ $ = (81 - 6 \cdot 3) - (1 - 6) = (81 - 18) - (-5) = 63 + 5 = 68 $.
Ответ: 68

3) Вычислим определенный интеграл $ \int_{-1}^2 \frac{5x - 2}{\sqrt[3]{x}} dx $.
Разделим числитель на знаменатель, чтобы упростить выражение: $ \frac{5x - 2}{\sqrt[3]{x}} = \frac{5x}{x^{1/3}} - \frac{2}{x^{1/3}} = 5x^{1 - 1/3} - 2x^{-1/3} = 5x^{2/3} - 2x^{-1/3} $.
Найдем первообразную $ F(x) $: $ F(x) = \int (5x^{2/3} - 2x^{-1/3}) dx = 5 \frac{x^{5/3}}{5/3} - 2 \frac{x^{2/3}}{2/3} = 3x^{5/3} - 3x^{2/3} $.
Подынтегральная функция имеет разрыв в точке $ x=0 $, но ее первообразная непрерывна на отрезке $ [-1, 2] $, поэтому формула Ньютона-Лейбница применима.
$ \int_{-1}^2 \frac{5x - 2}{\sqrt[3]{x}} dx = \left. (3x^{5/3} - 3x^{2/3}) \right|_{-1}^2 = (3 \cdot 2^{5/3} - 3 \cdot 2^{2/3}) - (3 \cdot (-1)^{5/3} - 3 \cdot (-1)^{2/3}) $ $ = (3\sqrt[3]{2^5} - 3\sqrt[3]{2^2}) - (3(-1) - 3(1)) = (3\sqrt[3]{32} - 3\sqrt[3]{4}) - (-3 - 3) = (3 \cdot 2\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{4}) - (-6) = 3\sqrt[3]{4} + 6 $.
Ответ: $ 3\sqrt[3]{4} + 6 $

4) Вычислим определенный интеграл $ \int_1^3 \frac{3x - 1}{\sqrt{x}} dx $.
Упростим подынтегральное выражение: $ \frac{3x - 1}{\sqrt{x}} = \frac{3x}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 3x^{1/2} - x^{-1/2} $.
Найдем первообразную $ F(x) $: $ F(x) = \int (3x^{1/2} - x^{-1/2}) dx = 3 \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{3/2} - 2x^{1/2} = 2x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_1^3 \frac{3x - 1}{\sqrt{x}} dx = \left. (2x^{3/2} - 2x^{1/2}) \right|_1^3 = (2 \cdot 3^{3/2} - 2 \cdot 3^{1/2}) - (2 \cdot 1^{3/2} - 2 \cdot 1^{1/2}) $ $ = (2 \cdot 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - (2 - 2) = 4\sqrt{3} - 0 = 4\sqrt{3} $.
Ответ: $ 4\sqrt{3} $

5) Вычислим определенный интеграл $ \int_1^4 \sqrt{x}(3 - \frac{7}{x}) dx $.
Раскроем скобки в подынтегральном выражении: $ \sqrt{x}(3 - \frac{7}{x}) = 3\sqrt{x} - \frac{7\sqrt{x}}{x} = 3x^{1/2} - 7x^{-1/2} $.
Найдем первообразную $ F(x) $: $ F(x) = \int (3x^{1/2} - 7x^{-1/2}) dx = 3 \frac{x^{3/2}}{3/2} - 7 \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{3/2} - 14x^{1/2} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_1^4 \sqrt{x}(3 - \frac{7}{x}) dx = \left. (2x^{3/2} - 14x^{1/2}) \right|_1^4 = (2 \cdot 4^{3/2} - 14 \cdot 4^{1/2}) - (2 \cdot 1^{3/2} - 14 \cdot 1^{1/2}) $ $ = (2 \cdot (\sqrt{4})^3 - 14\sqrt{4}) - (2 - 14) = (2 \cdot 8 - 14 \cdot 2) - (-12) = (16 - 28) + 12 = -12 + 12 = 0 $.
Ответ: 0

6) Вычислим определенный интеграл $ \int_1^8 4\sqrt[3]{x}(1 - \frac{4}{x}) dx $.
Упростим подынтегральное выражение: $ 4\sqrt[3]{x}(1 - \frac{4}{x}) = 4x^{1/3} - \frac{16x^{1/3}}{x} = 4x^{1/3} - 16x^{-2/3} $.
Найдем первообразную $ F(x) $: $ F(x) = \int (4x^{1/3} - 16x^{-2/3}) dx = 4 \frac{x^{4/3}}{4/3} - 16 \frac{x^{1/3}}{1/3} = 3x^{4/3} - 48x^{1/3} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_1^8 4\sqrt[3]{x}(1 - \frac{4}{x}) dx = \left. (3x^{4/3} - 48x^{1/3}) \right|_1^8 = (3 \cdot 8^{4/3} - 48 \cdot 8^{1/3}) - (3 \cdot 1^{4/3} - 48 \cdot 1^{1/3}) $ $ = (3 \cdot (\sqrt[3]{8})^4 - 48\sqrt[3]{8}) - (3 - 48) = (3 \cdot 2^4 - 48 \cdot 2) - (-45) = (3 \cdot 16 - 96) + 45 = (48 - 96) + 45 = -48 + 45 = -3 $.
Ответ: -3

373. 1) $\int_0^5 \frac{6}{\sqrt{3x+1}} dx;$

2) $\int_2^7 \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx.$

1) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{5} \frac{6}{\sqrt{3x+1}} dx$.

Для решения этого интеграла применим метод замены переменной (подстановки). Пусть $t = 3x+1$.

Найдем дифференциал $dt$. $dt = (3x+1)' dx = 3dx$. Отсюда выразим $dx$: $dx = \frac{dt}{3}$.

Теперь необходимо пересчитать пределы интегрирования для новой переменной $t$.

Нижний предел: при $x=0$, $t = 3 \cdot 0 + 1 = 1$.

Верхний предел: при $x=5$, $t = 3 \cdot 5 + 1 = 15 + 1 = 16$.

Подставим новую переменную и новые пределы в исходный интеграл:

$\int_{0}^{5} \frac{6}{\sqrt{3x+1}} dx = \int_{1}^{16} \frac{6}{\sqrt{t}} \frac{dt}{3} = \int_{1}^{16} \frac{2}{\sqrt{t}} dt = 2 \int_{1}^{16} t^{-1/2} dt$.

Теперь найдем первообразную для $t^{-1/2}$ по формуле $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$:

$2 \int t^{-1/2} dt = 2 \cdot \frac{t^{-1/2+1}}{-1/2+1} = 2 \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} = 4t^{1/2} = 4\sqrt{t}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$2 \int_{1}^{16} t^{-1/2} dt = 4\sqrt{t} \bigg|_{1}^{16} = 4\sqrt{16} - 4\sqrt{1} = 4 \cdot 4 - 4 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

Ответ: 12

2) Вычислим определенный интеграл $\int_{2}^{7} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx$.

Этот интеграл также решается методом замены переменной. Пусть $t = x+2$.

Тогда дифференциал $dt = (x+2)' dx = 1 \cdot dx = dx$.

Пересчитаем пределы интегрирования для переменной $t$.

Нижний предел: при $x=2$, $t = 2 + 2 = 4$.

Верхний предел: при $x=7$, $t = 7 + 2 = 9$.

Выполним подстановку в интеграл:

$\int_{2}^{7} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx = \int_{4}^{9} \frac{4}{\sqrt{t}} dt = 4 \int_{4}^{9} t^{-1/2} dt$.

Как и в предыдущем примере, первообразная для $t^{-1/2}$ равна $2\sqrt{t}$.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$4 \int_{4}^{9} t^{-1/2} dt = 4 \cdot (2\sqrt{t}) \bigg|_{4}^{9} = 8\sqrt{t} \bigg|_{4}^{9} = 8\sqrt{9} - 8\sqrt{4} = 8 \cdot 3 - 8 \cdot 2 = 24 - 16 = 8$.

Ответ: 8

374. 1) $\int_0^2 e^{3x} dx;$

2) $\int_1^3 2e^{2x} dx;$

3) $\int_1^2 \frac{3}{2x-1} dx;$

4) $\int_{-1}^1 \frac{4}{3x+5} dx.$

1)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{2} e^{3x} dx$ сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = e^{3x}$.
Используем табличный интеграл для экспоненциальной функции: $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$.
В данном случае коэффициент $k=3$, поэтому первообразная $F(x) = \frac{1}{3}e^{3x}$.
Далее применяем формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{0}^{2} e^{3x} dx = \left[ \frac{1}{3}e^{3x} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{3}e^{3 \cdot 2} - \frac{1}{3}e^{3 \cdot 0} = \frac{1}{3}e^6 - \frac{1}{3}e^0$.

Поскольку любое число в нулевой степени равно 1 ($e^0=1$), получаем:

$\frac{1}{3}e^6 - \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{e^6-1}{3}$.

Ответ: $\frac{e^6-1}{3}$.

2)

Для вычисления интеграла $\int_{1}^{3} 2e^{2x} dx$ вынесем постоянный множитель 2 за знак интеграла:

$2\int_{1}^{3} e^{2x} dx$.

Первообразная для функции $f(x) = e^{2x}$ находится по той же формуле $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$, где $k=2$.
Следовательно, первообразная $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x}$.
Подставляем в формулу Ньютона-Лейбница:

$2\int_{1}^{3} e^{2x} dx = 2 \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_{1}^{3} = \left[ e^{2x} \right]_{1}^{3} = e^{2 \cdot 3} - e^{2 \cdot 1} = e^6 - e^2$.

Ответ: $e^6 - e^2$.

3)

Рассмотрим интеграл $\int_{1}^{2} \frac{3}{2x-1} dx$.
Вынесем постоянный множитель 3 за знак интеграла:

$3\int_{1}^{2} \frac{1}{2x-1} dx$.

Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{1}{2x-1}$ используем формулу $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$.
В нашем случае $k=2$ и $b=-1$. Таким образом, первообразная $F(x) = \frac{1}{2}\ln|2x-1|$.
На интервале интегрирования $[1, 2]$ выражение $2x-1$ положительно, поэтому знак модуля можно опустить.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$3\int_{1}^{2} \frac{1}{2x-1} dx = 3 \left[ \frac{1}{2}\ln(2x-1) \right]_{1}^{2} = \frac{3}{2} \left[ \ln(2x-1) \right]_{1}^{2} = \frac{3}{2}(\ln(2 \cdot 2 - 1) - \ln(2 \cdot 1 - 1)) = \frac{3}{2}(\ln(3) - \ln(1))$.

Так как $\ln(1) = 0$, итоговый результат:

$\frac{3}{2}\ln(3)$.

Ответ: $\frac{3}{2}\ln(3)$.

4)

Решим интеграл $\int_{-1}^{1} \frac{4}{3x+5} dx$.
Сначала вынесем константу 4:

$4\int_{-1}^{1} \frac{1}{3x+5} dx$.

Первообразная для $f(x) = \frac{1}{3x+5}$ находится по формуле $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$, где $k=3$ и $b=5$.
Первообразная $F(x) = \frac{1}{3}\ln|3x+5|$.
На интервале $[-1, 1]$ выражение $3x+5$ принимает значения от $3(-1)+5=2$ до $3(1)+5=8$, то есть всегда положительно, и знак модуля можно опустить.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$4\int_{-1}^{1} \frac{1}{3x+5} dx = 4 \left[ \frac{1}{3}\ln(3x+5) \right]_{-1}^{1} = \frac{4}{3} \left[ \ln(3x+5) \right]_{-1}^{1} = \frac{4}{3}(\ln(3 \cdot 1 + 5) - \ln(3 \cdot (-1) + 5)) = \frac{4}{3}(\ln(8) - \ln(2))$.

Используя свойство разности логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, получаем:

$\frac{4}{3}\ln(\frac{8}{2}) = \frac{4}{3}\ln(4)$.

Ответ: $\frac{4}{3}\ln(4)$.

375. 1) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \cos \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) dx;$

3) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 4x dx;$

4) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 \left(x - \frac{\pi}{3}\right) dx.$

1) Вычислим определенный интеграл $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \,dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \sin 2x$ находится по формуле $\int \sin(kx) \,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.

В нашем случае $k=2$, поэтому первообразная $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \,dx = \left. -\frac{1}{2}\cos 2x \right|_0^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\frac{1}{2}\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0)\right) = \left(-\frac{1}{2}\cos(\pi)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cos(0)\right) = \left(-\frac{1}{2} \cdot (-1)\right) - \left(-\frac{1}{2} \cdot 1\right) = \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: 1.

2) Вычислим определенный интеграл $\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) \,dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$ находится по формуле $\int \cos(kx+b) \,dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C$.

Здесь $k=3$, $b=-\frac{\pi}{4}$. Первообразная $F(x) = \frac{1}{3}\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) \,dx = \left. \frac{1}{3}\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) \right|_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} = \frac{1}{3}\sin\left(3\pi - \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{3}\sin\left(3\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{3}\sin\left(\frac{11\pi}{4}\right) - \frac{1}{3}\sin\left(\frac{2\pi}{4}\right) = \frac{1}{3}\sin\left(2\pi + \frac{3\pi}{4}\right) - \frac{1}{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$.

Так как $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$, получаем:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{6} - \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{2}-2}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}-2}{6}$.

3) Вычислим определенный интеграл $\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 4x \,dx$.

Для интегрирования используем формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = 4x$, поэтому $\cos^2 4x = \frac{1 + \cos(8x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(8x)$.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(8x)\right) \,dx = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} \,dx + \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2}\cos(8x) \,dx = \left[ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}\sin(8x) \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \left. \left(\frac{x}{2} + \frac{\sin(8x)}{16}\right) \right|_0^{\frac{\pi}{4}}$.

Подставляем пределы интегрирования:

$\left(\frac{\pi/4}{2} + \frac{\sin(8 \cdot \pi/4)}{16}\right) - \left(\frac{0}{2} + \frac{\sin(8 \cdot 0)}{16}\right) = \left(\frac{\pi}{8} + \frac{\sin(2\pi)}{16}\right) - (0 + 0) = \frac{\pi}{8} + \frac{0}{16} = \frac{\pi}{8}$.

Ответ: $\frac{\pi}{8}$.

4) Вычислим определенный интеграл $\int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} \sin^2\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \,dx$.

Используем формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Здесь $\alpha = x - \frac{\pi}{3}$, значит $2\alpha = 2x - \frac{2\pi}{3}$.

$\sin^2\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1 - \cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)$.

Интегрируем полученное выражение:

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{3}} \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)\right) \,dx = \left[ \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right) \right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \left. \left(\frac{x}{2} - \frac{1}{4}\sin\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right)\right) \right|_0^{\frac{\pi}{3}}$.

Подставляем пределы интегрирования:

$\left(\frac{\pi/3}{2} - \frac{1}{4}\sin\left(2\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}\right)\right) - \left(\frac{0}{2} - \frac{1}{4}\sin\left(2 \cdot 0 - \frac{2\pi}{3}\right)\right) = \left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{4}\sin(0)\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)$.

Так как $\sin(0)=0$ и $\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\frac{\pi}{6} - 0 + \frac{1}{4}\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{4}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{24}$.

Ответ: $\frac{4\pi - 3\sqrt{3}}{24}$.