Страница 157 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

376. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ox и параболой:

1) $y = 1 - x^2$;

2) $y = -x^2 + 4x - 3$;

3) $y = -x(x + 3)$;

4) $y = (1 - x)(x + 2)$;

5) $y = (x + 2)(3 - x)$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой и осью Ox, необходимо вычислить определенный интеграл от функции, задающей параболу. Пределами интегрирования являются абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox.

Общая формула для площади $S$ фигуры, ограниченной кривой $y = f(x)$ и осью Ox на отрезке $[a, b]$, где $f(x)$ не меняет знак, такова: $S = \int_a^b |f(x)| \,dx$. Во всех предложенных задачах парабола пересекает ось Ox в двух точках, и между этими точками $f(x) \ge 0$, поэтому площадь вычисляется по формуле $S = \int_a^b f(x) \,dx$.

1) $y = 1 - x^2$;

Сначала найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $y = 0$ :
$1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.
Это наши пределы интегрирования. Ветви параболы $y = 1 - x^2$ направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен), поэтому на интервале $(-1, 1)$ значения функции положительны.
Площадь фигуры вычисляется как интеграл:
$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \,dx$
Найдем первообразную: $F(x) = x - \frac{x^3}{3}$.
Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left(x - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

2) $y = -x^2 + 4x - 3$;

Найдем точки пересечения с осью Ox:
$-x^2 + 4x - 3 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Это пределы интегрирования.
Ветви параболы направлены вниз, значит на интервале $(1, 3)$ функция положительна.
Вычисляем площадь:
$S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \,dx$
Первообразная: $F(x) = -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - 3x = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x$.
Вычисляем интеграл:
$S = \left(-\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x\right)\Big|_{1}^{3} = \left(-\frac{3^3}{3} + 2(3^2) - 3(3)\right) - \left(-\frac{1^3}{3} + 2(1^2) - 3(1)\right)$
$S = (-9 + 18 - 9) - \left(-\frac{1}{3} + 2 - 3\right) = 0 - \left(-\frac{1}{3} - 1\right) = 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

3) $y = -x(x + 3)$;

Раскроем скобки: $y = -x^2 - 3x$.
Найдем точки пересечения с осью Ox: $-x(x + 3) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -3$.
Пределы интегрирования от $-3$ до $0$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому на интервале $(-3, 0)$ функция положительна.
Вычисляем площадь:
$S = \int_{-3}^{0} (-x^2 - 3x) \,dx$
Первообразная: $F(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}$.
Вычисляем интеграл:
$S = \left(-\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\right)\Big|_{-3}^{0} = \left(0\right) - \left(-\frac{(-3)^3}{3} - \frac{3(-3)^2}{2}\right) = - \left(-\frac{-27}{3} - \frac{27}{2}\right) = - \left(9 - \frac{27}{2}\right) = - \left(\frac{18 - 27}{2}\right) = - \left(-\frac{9}{2}\right) = \frac{9}{2}$.
Ответ: $\frac{9}{2}$.

4) $y = (1 - x)(x + 2)$;

Раскроем скобки: $y = x + 2 - x^2 - 2x = -x^2 - x + 2$.
Найдем точки пересечения с осью Ox: $(1 - x)(x + 2) = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = -2$.
Пределы интегрирования от $-2$ до $1$. Ветви параболы ($a = -1 < 0$) направлены вниз, на интервале $(-2, 1)$ функция положительна.
Вычисляем площадь:
$S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \,dx$
Первообразная: $F(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x$.
Вычисляем интеграл:
$S = \left(-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x\right)\Big|_{-2}^{1} = \left(-\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2(1)\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2)\right)$
$S = \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) - \left(\frac{8}{3} - 2 - 4\right) = \left(-\frac{5}{6} + \frac{12}{6}\right) - \left(\frac{8}{3} - 6\right) = \frac{7}{6} - \left(\frac{8 - 18}{3}\right) = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.
Ответ: $\frac{9}{2}$.

5) $y = (x + 2)(3 - x)$;

Раскроем скобки: $y = 3x - x^2 + 6 - 2x = -x^2 + x + 6$.
Найдем точки пересечения с осью Ox: $(x + 2)(3 - x) = 0 \implies x_1 = -2, x_2 = 3$.
Пределы интегрирования от $-2$ до $3$. Ветви параболы ($a = -1 < 0$) направлены вниз, на интервале $(-2, 3)$ функция положительна.
Вычисляем площадь:
$S = \int_{-2}^{3} (-x^2 + x + 6) \,dx$
Первообразная: $F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x$.
Вычисляем интеграл:
$S = \left(-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x\right)\Big|_{-2}^{3} = \left(-\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6(3)\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} + 6(-2)\right)$
$S = \left(-9 + \frac{9}{2} + 18\right) - \left(\frac{8}{3} + 2 - 12\right) = \left(9 + \frac{9}{2}\right) - \left(\frac{8}{3} - 10\right) = \frac{27}{2} - \left(\frac{8 - 30}{3}\right) = \frac{27}{2} - \left(-\frac{22}{3}\right) = \frac{27}{2} + \frac{22}{3} = \frac{81 + 44}{6} = \frac{125}{6}$.
Ответ: $\frac{125}{6}$.

377. Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y=(x+1)^2$, прямой $y=1-x$ и осью $Ox$;

2) параболой $y=4-x^2$, прямой $y=x+2$ и осью $Ox$;

3) параболой $y=4x-x^2$, осью $Ox$ и прямой, проходящей через точки $(4; 0)$ и $(1; 3)$.

4) параболой $y=3x^2$, осью $Ox$ и прямой, проходящей через точки $(-3; 0)$ и $(-1; 3)$;

5) параболами $y=6x^2$, $y=(x-3)(x-4)$ и осью $Ox$;

6) параболами $y=4-x^2$, $y=(x-2)^2$ и осью $Ox$.

1) параболой $y = (x + 1)^2$, прямой $y = 1 - x$ и осью Ox;

Для нахождения площади фигуры, сначала определим ее границы. Найдём точки пересечения заданных линий.

1. Пересечение параболы $y = (x+1)^2$ с осью Ox ($y=0$): $(x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$. Точка $(-1; 0)$.

2. Пересечение прямой $y = 1 - x$ с осью Ox ($y=0$): $1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$. Точка $(1; 0)$.

3. Пересечение параболы $y = (x+1)^2$ и прямой $y = 1 - x$: $(x+1)^2 = 1 - x$ $x^2 + 2x + 1 = 1 - x$ $x^2 + 3x = 0$ $x(x+3) = 0$ Решения: $x=0$ и $x=-3$. Нас интересует точка пересечения, которая формирует замкнутую фигуру с осью Ox. Это точка при $x=0$, где $y = 1-0=1$. Точка $(0; 1)$.

Фигура ограничена снизу осью Ox ($y=0$). Сверху она ограничена разными функциями на разных участках. Точка $x=0$ является точкой смены верхней границы.

• На промежутке $[-1, 0]$ фигура ограничена сверху параболой $y = (x+1)^2$.
• На промежутке $[0, 1]$ фигура ограничена сверху прямой $y = 1-x$.

Площадь фигуры $S$ можно найти как сумму площадей двух криволинейных трапеций:$S = \int_{-1}^{0} (x+1)^2 dx + \int_{0}^{1} (1-x) dx$

Вычислим каждый интеграл:$\int_{-1}^{0} (x+1)^2 dx = \left[ \frac{(x+1)^3}{3} \right]_{-1}^{0} = \frac{(0+1)^3}{3} - \frac{(-1+1)^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$

$\int_{0}^{1} (1-x) dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = (1 - \frac{1^2}{2}) - (0 - \frac{0^2}{2}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Общая площадь:$S = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

2) параболой $y = 4 - x^2$, прямой $y = x + 2$ и осью Ox;

Найдём точки пересечения заданных линий.

1. Пересечение параболы $y = 4 - x^2$ с осью Ox ($y=0$): $4 - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$. Точки $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.

2. Пересечение прямой $y = x + 2$ с осью Ox ($y=0$): $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Точка $(-2; 0)$.

3. Пересечение параболы $y = 4 - x^2$ и прямой $y = x + 2$: $4 - x^2 = x + 2$ $x^2 + x - 2 = 0$ $(x+2)(x-1) = 0$ Решения: $x=-2$ и $x=1$. При $x=-2$, $y=0$. Точка $(-2; 0)$. При $x=1$, $y=1+2=3$. Точка $(1; 3)$.

Фигура ограничена снизу осью Ox. Верхняя граница фигуры меняется в точке пересечения $x=1$.Чтобы определить, какая функция является верхней границей на каком интервале, сравним их. Фигура ограничена сверху той функцией, которая принимает меньшее значение.$x+2 < 4-x^2 \Rightarrow x^2+x-2 < 0 \Rightarrow (x+2)(x-1) < 0$. Это неравенство верно для $x \in (-2, 1)$.

• На промежутке $[-2, 1]$ фигура ограничена сверху прямой $y=x+2$.
• На промежутке $[1, 2]$ фигура ограничена сверху параболой $y=4-x^2$.

Площадь фигуры $S$ равна сумме двух интегралов:$S = \int_{-2}^{1} (x+2) dx + \int_{1}^{2} (4-x^2) dx$

Вычислим интегралы:$\int_{-2}^{1} (x+2) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} = \left(\frac{1^2}{2} + 2(1)\right) - \left(\frac{(-2)^2}{2} + 2(-2)\right) = \left(\frac{1}{2} + 2\right) - (2 - 4) = \frac{5}{2} - (-2) = \frac{9}{2}$

$\int_{1}^{2} (4-x^2) dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \left(4(2) - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4(1) - \frac{1^3}{3}\right) = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(4 - \frac{1}{3}\right) = \frac{16}{3} - \frac{11}{3} = \frac{5}{3}$

Общая площадь:$S = \frac{9}{2} + \frac{5}{3} = \frac{27+10}{6} = \frac{37}{6}$

Ответ: $\frac{37}{6}$

3) параболой $y = 4x - x^2$, осью Ox и прямой, проходящей через точки (4; 0) и (1; 3).

Сначала найдём уравнение прямой, проходящей через точки $(4; 0)$ и $(1; 3)$.Угловой коэффициент: $k = \frac{3-0}{1-4} = \frac{3}{-3} = -1$.Уравнение прямой: $y - 0 = -1(x - 4) \Rightarrow y = 4 - x$.

Теперь найдем точки пересечения.1. Пересечение параболы $y = 4x - x^2$ с осью Ox ($y=0$): $4x - x^2 = 0 \Rightarrow x(4-x) = 0 \Rightarrow x=0, x=4$. Точки $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

2. Пересечение прямой $y = 4 - x$ с осью Ox ($y=0$): $4 - x = 0 \Rightarrow x=4$. Точка $(4; 0)$.

3. Пересечение параболы $y = 4x - x^2$ и прямой $y = 4 - x$: $4x - x^2 = 4 - x$ $x^2 - 5x + 4 = 0$ $(x-1)(x-4) = 0$ Решения: $x=1$ и $x=4$. Точки пересечения $(1; 3)$ и $(4; 0)$.

Фигура ограничена снизу осью Ox. Верхняя граница определяется функцией, имеющей меньшее значение. Сравним $4x-x^2$ и $4-x$.$4x - x^2 < 4 - x \Rightarrow 0 < x^2 - 5x + 4 \Rightarrow (x-1)(x-4) > 0$. Неравенство верно при $x<1$ или $x>4$.

• На промежутке $[0, 1]$ фигура ограничена сверху параболой $y=4x-x^2$.
• На промежутке $[1, 4]$ фигура ограничена сверху прямой $y=4-x$.

Площадь фигуры $S$ равна сумме интегралов:$S = \int_{0}^{1} (4x-x^2) dx + \int_{1}^{4} (4-x) dx$

Вычислим интегралы:$\int_{0}^{1} (4x-x^2) dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left(2(1)^2 - \frac{1^3}{3}\right) - 0 = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$

$\int_{1}^{4} (4-x) dx = \left[ 4x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \left(4(4) - \frac{4^2}{2}\right) - \left(4(1) - \frac{1^2}{2}\right) = (16-8) - (4-\frac{1}{2}) = 8 - \frac{7}{2} = \frac{9}{2}$

Общая площадь:$S = \frac{5}{3} + \frac{9}{2} = \frac{10+27}{6} = \frac{37}{6}$

Ответ: $\frac{37}{6}$

4) параболой $y = 3x^2$, осью Ox и прямой, проходящей через точки (-3; 0) и (-1; 3);

Уравнение прямой, проходящей через точки $(-3; 0)$ и $(-1; 3)$:Угловой коэффициент: $k = \frac{3-0}{-1-(-3)} = \frac{3}{2}$.Уравнение прямой: $y - 0 = \frac{3}{2}(x - (-3)) \Rightarrow y = \frac{3}{2}(x+3)$.

Найдем точки пересечения.1. Парабола $y=3x^2$ и ось Ox: $x=0$. Точка $(0; 0)$.2. Прямая $y = \frac{3}{2}(x+3)$ и ось Ox: $x=-3$. Точка $(-3; 0)$.3. Парабола и прямая: $3x^2 = \frac{3}{2}(x+3) \Rightarrow 2x^2 = x+3 \Rightarrow 2x^2 - x - 3 = 0$. Корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4(2)(-3)}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}$. $x_1=-1$, $x_2=3/2$. Нас интересует пересечение в левой полуплоскости, т.е. $x=-1$. Точка $(-1; 3)$.

Фигура ограничена снизу осью Ox. Сравним функции на интервале $[-3, 0]$.$3x^2 < \frac{3}{2}(x+3) \Rightarrow 2x^2-x-3 < 0$. Корни этого квадратного трехчлена $x=-1$ и $x=3/2$. Неравенство верно для $x \in (-1, 3/2)$.

• На промежутке $[-3, -1]$ фигура ограничена сверху прямой $y=\frac{3}{2}(x+3)$.
• На промежутке $[-1, 0]$ фигура ограничена сверху параболой $y=3x^2$.

Площадь фигуры $S$ равна:$S = \int_{-3}^{-1} \frac{3}{2}(x+3) dx + \int_{-1}^{0} 3x^2 dx$

Вычислим интегралы:$\int_{-3}^{-1} \frac{3}{2}(x+3) dx = \frac{3}{2}\left[ \frac{x^2}{2} + 3x \right]_{-3}^{-1} = \frac{3}{2}\left[\left(\frac{1}{2}-3\right) - \left(\frac{9}{2}-9\right)\right] = \frac{3}{2}\left[-\frac{5}{2} - (-\frac{9}{2})\right] = \frac{3}{2}\left(\frac{4}{2}\right) = 3$

$\int_{-1}^{0} 3x^2 dx = \left[ x^3 \right]_{-1}^{0} = 0^3 - (-1)^3 = 1$

Общая площадь:$S = 3 + 1 = 4$

Ответ: $4$

5) параболами $y = 6x^2$, $y = (x-3)(x-4)$ и осью Ox;

Даны параболы $y=6x^2$ и $y=x^2-7x+12$.1. Пересечение с осью Ox ($y=0$): $y=6x^2 \Rightarrow x=0$. Точка $(0;0)$. $y=x^2-7x+12 \Rightarrow (x-3)(x-4)=0 \Rightarrow x=3, x=4$. Точки $(3;0)$ и $(4;0)$.

2. Пересечение парабол: $6x^2 = x^2-7x+12 \Rightarrow 5x^2+7x-12=0$. Корни: $x = \frac{-7 \pm \sqrt{49-4(5)(-12)}}{10} = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{10} = \frac{-7 \pm 17}{10}$. $x_1=1$, $x_2=-2.4$. При $x=1$, $y=6(1)^2=6$. Точка $(1; 6)$.

Фигура представляет собой замкнутую область, ограниченную осью Ox и частями графиков двух парабол. Вершины этой фигуры - $(0;0)$, $(1;6)$ и $(3;0)$.

• На промежутке $[0, 1]$ верхняя граница - парабола $y=6x^2$.
• На промежутке $[1, 3]$ верхняя граница - парабола $y=x^2-7x+12$.

Площадь фигуры $S$ равна:$S = \int_{0}^{1} 6x^2 dx + \int_{1}^{3} (x^2-7x+12) dx$

Вычислим интегралы:$\int_{0}^{1} 6x^2 dx = \left[ 2x^3 \right]_{0}^{1} = 2(1)^3 - 0 = 2$

$\int_{1}^{3} (x^2-7x+12) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} + 12x \right]_{1}^{3}$$= \left(\frac{27}{3} - \frac{7 \cdot 9}{2} + 36\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 12\right)$$= \left(9 - \frac{63}{2} + 36\right) - \left(\frac{2-21+72}{6}\right) = \left(45 - \frac{63}{2}\right) - \frac{53}{6}$$= \frac{90-63}{2} - \frac{53}{6} = \frac{27}{2} - \frac{53}{6} = \frac{81-53}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}$

Общая площадь:$S = 2 + \frac{14}{3} = \frac{6+14}{3} = \frac{20}{3}$

Ответ: $\frac{20}{3}$

6) параболами $y = 4 - x^2$, $y = (x - 2)^2$ и осью Ox.

Найдем точки пересечения.1. Пересечение с осью Ox ($y=0$): $y=4-x^2 \Rightarrow x=\pm 2$. Точки $(-2;0)$ и $(2;0)$. $y=(x-2)^2 \Rightarrow x=2$. Точка $(2;0)$.

2. Пересечение парабол: $4-x^2 = (x-2)^2 \Rightarrow 4-x^2 = x^2-4x+4 \Rightarrow 2x^2-4x=0 \Rightarrow 2x(x-2)=0$. $x_1=0$, $x_2=2$. При $x=0$, $y=4$. Точка $(0;4)$. При $x=2$, $y=0$. Точка $(2;0)$.

Фигура ограничена снизу осью Ox. Верхняя граница определяется функцией, имеющей меньшее значение. Сравним $4-x^2$ и $(x-2)^2$.$(x-2)^2 < 4-x^2 \Rightarrow x^2-4x+4 < 4-x^2 \Rightarrow 2x^2-4x < 0 \Rightarrow 2x(x-2) < 0$. Неравенство верно при $x \in (0,2)$.

• На промежутке $[-2, 0]$ фигура ограничена сверху параболой $y=4-x^2$.
• На промежутке $[0, 2]$ фигура ограничена сверху параболой $y=(x-2)^2$.

Площадь фигуры $S$ равна:$S = \int_{-2}^{0} (4-x^2) dx + \int_{0}^{2} (x-2)^2 dx$

Вычислим интегралы:$\int_{-2}^{0} (4-x^2) dx = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{0} = 0 - \left(4(-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right) = -\left(-8 - \frac{-8}{3}\right) = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$

$\int_{0}^{2} (x-2)^2 dx = \left[ \frac{(x-2)^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{(2-2)^3}{3} - \frac{(0-2)^3}{3} = 0 - \frac{-8}{3} = \frac{8}{3}$

Общая площадь:$S = \frac{16}{3} + \frac{8}{3} = \frac{24}{3} = 8$

Ответ: $8$