Страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить дифференциальное уравнение (386—387).

386. 1) $y' = 3 - 4x$; 2) $y' = 6x^2 - 8x + 1$;

3) $y' = 3e^{2x}$; 4) $y' = 4\cos 2x$.

1) Дано дифференциальное уравнение $y' = 3 - 4x$.

Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Для его решения представим $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = 3 - 4x$

Разделим переменные, умножив обе части на $dx$:

$dy = (3 - 4x)dx$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$\int dy = \int (3 - 4x)dx$

Интеграл в левой части равен $y$. Интеграл в правой части найдем, используя свойства интегралов и таблицу основных интегралов:

$y = \int 3dx - \int 4xdx$

Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$y = 3x - 4\frac{x^2}{2} + C$

$y = 3x - 2x^2 + C$

где $C$ – произвольная постоянная.

Ответ: $y = 3x - 2x^2 + C$.

2) Дано дифференциальное уравнение $y' = 6x^2 - 8x + 1$.

Это уравнение решается путем прямого интегрирования правой части по $x$.

$y = \int (6x^2 - 8x + 1)dx$

Интегрируем почленно:

$y = \int 6x^2dx - \int 8xdx + \int 1dx$

Применяем правило интегрирования степенной функции:

$y = 6\frac{x^3}{3} - 8\frac{x^2}{2} + x + C$

Упрощаем выражение:

$y = 2x^3 - 4x^2 + x + C$

где $C$ – произвольная постоянная.

Ответ: $y = 2x^3 - 4x^2 + x + C$.

3) Дано дифференциальное уравнение $y' = 3e^{2x}$.

Для нахождения общего решения проинтегрируем правую часть по $x$:

$y = \int 3e^{2x}dx$

Выносим константу за знак интеграла:

$y = 3 \int e^{2x}dx$

Используем формулу интегрирования экспоненциальной функции $\int e^{kx}dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$. В нашем случае $k=2$:

$y = 3 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + C$

$y = \frac{3}{2}e^{2x} + C$

где $C$ – произвольная постоянная.

Ответ: $y = \frac{3}{2}e^{2x} + C$.

4) Дано дифференциальное уравнение $y' = 4\cos{2x}$.

Находим общее решение путем интегрирования правой части по $x$:

$y = \int 4\cos(2x)dx$

Выносим константу за знак интеграла:

$y = 4 \int \cos(2x)dx$

Используем формулу интегрирования косинуса $\int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$. В данном случае $k=2$:

$y = 4 \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) + C$

$y = 2\sin(2x) + C$

где $C$ – произвольная постоянная.

Ответ: $y = 2\sin(2x) + C$.

387. 1) $y' = 3\sin x;$

2) $y' = \cos x - \sin x;$

3) $y' = 4x^3 - 2\cos x;$

4) $y' = 3x^2 - 4e^{2x}.$

1) Дано дифференциальное уравнение $y' = 3\sin x$. Чтобы найти функцию $y$, необходимо найти первообразную для правой части уравнения, то есть вычислить неопределенный интеграл.
$y = \int y' \,dx = \int 3\sin x \,dx$
Выносим константу за знак интеграла:
$y = 3 \int \sin x \,dx$
Используем табличный интеграл $\int \sin x \,dx = -\cos x$.
$y = 3(-\cos x) + C = -3\cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.
Ответ: $y = -3\cos x + C$

2) Дано дифференциальное уравнение $y' = \cos x - \sin x$. Находим первообразную для правой части.
$y = \int (\cos x - \sin x) \,dx$
Интеграл разности равен разности интегралов:
$y = \int \cos x \,dx - \int \sin x \,dx$
Используем табличные интегралы $\int \cos x \,dx = \sin x$ и $\int \sin x \,dx = -\cos x$.
$y = \sin x - (-\cos x) + C = \sin x + \cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $y = \sin x + \cos x + C$

3) Дано дифференциальное уравнение $y' = 4x^3 - 2\cos x$. Находим первообразную.
$y = \int (4x^3 - 2\cos x) \,dx$
Используя свойство линейности интеграла:
$y = \int 4x^3 \,dx - \int 2\cos x \,dx = 4 \int x^3 \,dx - 2 \int \cos x \,dx$
Используем табличные интегралы для степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ и для косинуса $\int \cos x \,dx = \sin x$.
$y = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 2\sin x + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 2\sin x + C$
$y = x^4 - 2\sin x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $y = x^4 - 2\sin x + C$

4) Дано дифференциальное уравнение $y' = 3x^2 - 4e^{2x}$. Находим первообразную.
$y = \int (3x^2 - 4e^{2x}) \,dx$
Используя свойство линейности интеграла:
$y = \int 3x^2 \,dx - \int 4e^{2x} \,dx = 3 \int x^2 \,dx - 4 \int e^{2x} \,dx$
Используем табличный интеграл для степенной функции $\int x^2 \,dx = \frac{x^3}{3}$ и для экспоненциальной функции $\int e^{kx} \,dx = \frac{1}{k}e^{kx}$.
$y = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + C$
$y = x^3 - 2e^{2x} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $y = x^3 - 2e^{2x} + C$