Номер 386, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 6. Простейшие дифференциальные уравнения. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 386, страница 162.

Условие.

Решить дифференциальное уравнение (386—387).

386. 1) $y' = 3 - 4x$; 2) $y' = 6x^2 - 8x + 1$;

3) $y' = 3e^{2x}$; 4) $y' = 4\cos 2x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дано дифференциальное уравнение $y' = 3 - 4x$.

Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Для его решения представим $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = 3 - 4x$

Разделим переменные, умножив обе части на $dx$:

$dy = (3 - 4x)dx$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$\int dy = \int (3 - 4x)dx$

Интеграл в левой части равен $y$. Интеграл в правой части найдем, используя свойства интегралов и таблицу основных интегралов:

$y = \int 3dx - \int 4xdx$

Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$y = 3x - 4\frac{x^2}{2} + C$

$y = 3x - 2x^2 + C$

где $C$ – произвольная постоянная.

Ответ: $y = 3x - 2x^2 + C$.

2) Дано дифференциальное уравнение $y' = 6x^2 - 8x + 1$.

Это уравнение решается путем прямого интегрирования правой части по $x$.

$y = \int (6x^2 - 8x + 1)dx$

Интегрируем почленно:

$y = \int 6x^2dx - \int 8xdx + \int 1dx$

Применяем правило интегрирования степенной функции:

$y = 6\frac{x^3}{3} - 8\frac{x^2}{2} + x + C$

Упрощаем выражение:

$y = 2x^3 - 4x^2 + x + C$

где $C$ – произвольная постоянная.

Ответ: $y = 2x^3 - 4x^2 + x + C$.

3) Дано дифференциальное уравнение $y' = 3e^{2x}$.

Для нахождения общего решения проинтегрируем правую часть по $x$:

$y = \int 3e^{2x}dx$

Выносим константу за знак интеграла:

$y = 3 \int e^{2x}dx$

Используем формулу интегрирования экспоненциальной функции $\int e^{kx}dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$. В нашем случае $k=2$:

$y = 3 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + C$

$y = \frac{3}{2}e^{2x} + C$

где $C$ – произвольная постоянная.

Ответ: $y = \frac{3}{2}e^{2x} + C$.

4) Дано дифференциальное уравнение $y' = 4\cos{2x}$.

Находим общее решение путем интегрирования правой части по $x$:

$y = \int 4\cos(2x)dx$

Выносим константу за знак интеграла:

$y = 4 \int \cos(2x)dx$

Используем формулу интегрирования косинуса $\int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$. В данном случае $k=2$:

$y = 4 \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) + C$

$y = 2\sin(2x) + C$

где $C$ – произвольная постоянная.

Ответ: $y = 2\sin(2x) + C$.