Номер 390, страница 163 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 390, страница 163.

Условие.

390. Для функции $f(x)$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M$, если:

1) $f(x) = \cos x$, $M(0; -2)$;

2) $f(x) = \sin x$, $M(-\pi; 0)$;

3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, $M(4; 5)$;

4) $f(x) = e^x$, $M(0; 2)$;

5) $f(x) = 3x^2 + 1$, $M(1; -2)$;

6) $f(x) = 2 - 2x$, $M(2; 3)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) f(x) = cos x, M(0; -2)

Чтобы найти искомую первообразную, сначала найдем общий вид всех первообразных для данной функции $f(x)$, а затем, используя координаты точки $M$, найдем значение константы $C$.

Общий вид первообразной для $f(x) = \cos x$ находится путем интегрирования: $F(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

По условию, график первообразной проходит через точку $M(0; -2)$. Это означает, что при $x = 0$, значение $F(x)$ равно $-2$. Подставим эти значения в выражение для $F(x)$:

$F(0) = \sin(0) + C = -2$

Так как $\sin(0) = 0$, получаем:

$0 + C = -2$, откуда $C = -2$.

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = \sin x - 2$.

Ответ: $F(x) = \sin x - 2$

2) f(x) = sin x, M(-π; 0)

Общий вид первообразной для $f(x) = \sin x$ имеет вид: $F(x) = \int \sin x \,dx = -\cos x + C$.

График проходит через точку $M(-\pi; 0)$, следовательно $F(-\pi) = 0$. Подставляем значения:

$F(-\pi) = -\cos(-\pi) + C = 0$

Так как $\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$, получаем:

$-(-1) + C = 0$

$1 + C = 0$, откуда $C = -1$.

Искомая первообразная: $F(x) = -\cos x - 1$.

Ответ: $F(x) = -\cos x - 1$

3) f(x) = 1/√x, M(4; 5)

Представим функцию в виде $f(x) = x^{-1/2}$. Общий вид первообразной находится по формуле для степенной функции: $F(x) = \int x^{-1/2} \,dx = \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$.

График проходит через точку $M(4; 5)$, следовательно $F(4) = 5$. Подставляем значения:

$F(4) = 2\sqrt{4} + C = 5$

$2 \cdot 2 + C = 5$

$4 + C = 5$, откуда $C = 1$.

Искомая первообразная: $F(x) = 2\sqrt{x} + 1$.

Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x} + 1$

4) f(x) = eˣ, M(0; 2)

Общий вид первообразной для экспоненциальной функции $f(x) = e^x$ имеет вид: $F(x) = \int e^x \,dx = e^x + C$.

График проходит через точку $M(0; 2)$, следовательно $F(0) = 2$. Подставляем значения:

$F(0) = e^0 + C = 2$

$1 + C = 2$, откуда $C = 1$.

Искомая первообразная: $F(x) = e^x + 1$.

Ответ: $F(x) = e^x + 1$

5) f(x) = 3x² + 1, M(1; -2)

Общий вид первообразной для $f(x) = 3x^2 + 1$ находим, интегрируя каждый член: $F(x) = \int (3x^2 + 1) \,dx = 3 \frac{x^3}{3} + x + C = x^3 + x + C$.

График проходит через точку $M(1; -2)$, следовательно $F(1) = -2$. Подставляем значения:

$F(1) = 1^3 + 1 + C = -2$

$1 + 1 + C = -2$

$2 + C = -2$, откуда $C = -4$.

Искомая первообразная: $F(x) = x^3 + x - 4$.

Ответ: $F(x) = x^3 + x - 4$

6) f(x) = 2 - 2x, M(2; 3)

Общий вид первообразной для $f(x) = 2 - 2x$ находим, интегрируя каждый член: $F(x) = \int (2 - 2x) \,dx = 2x - 2\frac{x^2}{2} + C = 2x - x^2 + C$.

График проходит через точку $M(2; 3)$, следовательно $F(2) = 3$. Подставляем значения:

$F(2) = 2(2) - 2^2 + C = 3$

$4 - 4 + C = 3$

$0 + C = 3$, откуда $C = 3$.

Искомая первообразная: $F(x) = 2x - x^2 + 3$, что можно записать в стандартном виде для многочлена: $F(x) = -x^2 + 2x + 3$.

Ответ: $F(x) = -x^2 + 2x + 3$