Номер 388, страница 163 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 6. Простейшие дифференциальные уравнения - номер 388, страница 163.

Условие.

388. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данному условию:

1) $y' = \sin x, y(0) = 0;$

2) $y' = 2\cos x, y(\pi) = 1;$

3) $y' = 3x^2 + 4x - 1, y(1) = -2;$

4) $y' = 2 + 2x - 3x^2, y(-1) = 2;$

5) $y' = e^x, y(1) = 1;$

6) $y' = e^{-x}, y(0) = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дано дифференциальное уравнение $y' = \sin x$ с начальным условием $y(0) = 0$.
Чтобы найти функцию $y(x)$, необходимо найти первообразную для функции $y' = \sin x$, то есть проинтегрировать правую часть уравнения:
$y(x) = \int \sin x \,dx = -\cos x + C$, где $C$ – произвольная постоянная.
Это общее решение дифференциального уравнения. Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальному условию $y(0) = 0$, подставим значения $x=0$ и $y=0$ в общее решение:
$0 = -\cos(0) + C$
Так как $\cos(0) = 1$, получаем:
$0 = -1 + C$
$C = 1$
Подставляем найденное значение $C=1$ обратно в общее решение:
$y(x) = -\cos x + 1$.
Ответ: $y = 1 - \cos x$.

2) Дано дифференциальное уравнение $y' = 2\cos x$ с начальным условием $y(\pi) = 1$.
Находим общее решение путем интегрирования:
$y(x) = \int 2\cos x \,dx = 2\sin x + C$.
Используем начальное условие $y(\pi) = 1$. Подставляем $x=\pi$ и $y=1$ в общее решение:
$1 = 2\sin(\pi) + C$
Так как $\sin(\pi) = 0$, получаем:
$1 = 2 \cdot 0 + C$
$C = 1$
Подставляем $C=1$ в общее решение:
$y(x) = 2\sin x + 1$.
Ответ: $y = 2\sin x + 1$.

3) Дано дифференциальное уравнение $y' = 3x^2 + 4x - 1$ с начальным условием $y(1) = -2$.
Находим общее решение путем интегрирования:
$y(x) = \int (3x^2 + 4x - 1) \,dx = 3\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - x + C = x^3 + 2x^2 - x + C$.
Используем начальное условие $y(1) = -2$. Подставляем $x=1$ и $y=-2$ в общее решение:
$-2 = 1^3 + 2(1)^2 - 1 + C$
$-2 = 1 + 2 - 1 + C$
$-2 = 2 + C$
$C = -4$
Подставляем $C=-4$ в общее решение:
$y(x) = x^3 + 2x^2 - x - 4$.
Ответ: $y = x^3 + 2x^2 - x - 4$.

4) Дано дифференциальное уравнение $y' = 2 + 2x - 3x^2$ с начальным условием $y(-1) = 2$.
Интегрируем, чтобы найти общее решение:
$y(x) = \int (2 + 2x - 3x^2) \,dx = 2x + 2\frac{x^2}{2} - 3\frac{x^3}{3} + C = 2x + x^2 - x^3 + C$.
Используем начальное условие $y(-1) = 2$. Подставляем $x=-1$ и $y=2$ в общее решение:
$2 = 2(-1) + (-1)^2 - (-1)^3 + C$
$2 = -2 + 1 - (-1) + C$
$2 = -2 + 1 + 1 + C$
$2 = 0 + C$
$C = 2$
Подставляем $C=2$ в общее решение:
$y(x) = -x^3 + x^2 + 2x + 2$.
Ответ: $y = -x^3 + x^2 + 2x + 2$.

5) Дано дифференциальное уравнение $y' = e^x$ с начальным условием $y(1) = 1$.
Находим общее решение путем интегрирования:
$y(x) = \int e^x \,dx = e^x + C$.
Используем начальное условие $y(1) = 1$. Подставляем $x=1$ и $y=1$ в общее решение:
$1 = e^1 + C$
$C = 1 - e$
Подставляем $C = 1 - e$ в общее решение:
$y(x) = e^x + 1 - e$.
Ответ: $y = e^x + 1 - e$.

6) Дано дифференциальное уравнение $y' = e^{-x}$ с начальным условием $y(0) = 2$.
Находим общее решение путем интегрирования:
$y(x) = \int e^{-x} \,dx = -e^{-x} + C$.
Используем начальное условие $y(0) = 2$. Подставляем $x=0$ и $y=2$ в общее решение:
$2 = -e^{-0} + C$
Так как $e^0 = 1$, получаем:
$2 = -1 + C$
$C = 3$
Подставляем $C=3$ в общее решение:
$y(x) = -e^{-x} + 3$.
Ответ: $y = 3 - e^{-x}$.