Номер 389, страница 163 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 6. Простейшие дифференциальные уравнения - номер 389, страница 163.

Условие.

389. Показать, что функция $y=C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{-\omega x}$ при любых значениях $C_1$ и $C_2$ является решением уравнения $y'' - \omega^2 y = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы показать, что функция $y = C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{-\omega x}$ является решением уравнения $y'' - \omega^2 y = 0$ для любых констант $C_1$ и $C_2$, необходимо найти первую и вторую производные данной функции и подставить их в уравнение.

1. Нахождение первой производной $y'$
Дифференцируем функцию $y$ по переменной $x$, используя правила дифференцирования суммы и экспоненциальной функции:
$y' = \frac{d}{dx}(C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{-\omega x}) = C_1 \frac{d}{dx}(e^{\omega x}) + C_2 \frac{d}{dx}(e^{-\omega x})$
$y' = C_1 (\omega e^{\omega x}) + C_2 (-\omega e^{-\omega x})$
$y' = C_1 \omega e^{\omega x} - C_2 \omega e^{-\omega x}$

2. Нахождение второй производной $y''$
Теперь дифференцируем первую производную $y'$ по $x$:
$y'' = \frac{d}{dx}(C_1 \omega e^{\omega x} - C_2 \omega e^{-\omega x}) = C_1 \omega \frac{d}{dx}(e^{\omega x}) - C_2 \omega \frac{d}{dx}(e^{-\omega x})$
$y'' = C_1 \omega (\omega e^{\omega x}) - C_2 \omega (-\omega e^{-\omega x})$
$y'' = C_1 \omega^2 e^{\omega x} + C_2 \omega^2 e^{-\omega x}$

3. Подстановка $y$ и $y''$ в дифференциальное уравнение
Подставляем выражения для $y$ и $y''$ в левую часть уравнения $y'' - \omega^2 y = 0$:
$y'' - \omega^2 y = (C_1 \omega^2 e^{\omega x} + C_2 \omega^2 e^{-\omega x}) - \omega^2 (C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{-\omega x})$
Раскрываем скобки:
$C_1 \omega^2 e^{\omega x} + C_2 \omega^2 e^{-\omega x} - \omega^2 C_1 e^{\omega x} - \omega^2 C_2 e^{-\omega x}$
Группируем и сокращаем подобные члены:
$(C_1 \omega^2 e^{\omega x} - C_1 \omega^2 e^{\omega x}) + (C_2 \omega^2 e^{-\omega x} - C_2 \omega^2 e^{-\omega x}) = 0 + 0 = 0$
Поскольку левая часть уравнения равна правой ($0=0$), тождество выполняется для любых значений констант $C_1$ и $C_2$.

Ответ: Было показано, что функция $y = C_1 e^{\omega x} + C_2 e^{-\omega x}$ является решением дифференциального уравнения $y'' - \omega^2 y = 0$ при любых значениях $C_1$ и $C_2$.