Номер 391, страница 163 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Упражнения к главе IV - номер 391, страница 163.

Условие.

391. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \sqrt{x}, x = 1, x = 4, y = 0$;

2) $y = \cos x, x = 0, x = \frac{\pi}{3}, y = 0$;

3) $y = x^2, y = 2 - x$;

4) $y = 2x^2, y = 0.5x + 1.5$;

5) $y = \sqrt[3]{x}, x = -8, x = -1, y = 0$;

6) $y = \frac{1}{x^3}, x = -3, x = -1, y = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$, осью абсцисс $y=0$ и вертикальными прямыми $x=1$ и $x=4$. Такая фигура называется криволинейной трапецией. Поскольку на отрезке $[1, 4]$ функция $y = \sqrt{x}$ неотрицательна, ее площадь вычисляется с помощью определенного интеграла.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{1}^{4} \sqrt{x} \,dx = \int_{1}^{4} x^{1/2} \,dx$

Найдем первообразную для $x^{1/2}$: $F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Теперь по формуле Ньютона-Лейбница вычислим значение интеграла:

$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_1^4 = \frac{2}{3}(4^{3/2}) - \frac{2}{3}(1^{3/2})$

Учитывая, что $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ и $1^{3/2}=1$, получаем:

$S = \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$

Ответ: $14/3$.

2) Фигура ограничена графиком функции $y = \cos x$, осью абсцисс $y=0$ и вертикальными прямыми $x=0$ и $x=\frac{\pi}{3}$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{3}]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна. Площадь этой криволинейной трапеции вычисляется как определенный интеграл.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{0}^{\pi/3} \cos x \,dx$

Первообразная для $\cos x$ это $\sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [\sin x]_0^{\pi/3} = \sin(\frac{\pi}{3}) - \sin(0)$

Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(0)=0$.

$S = \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Фигура ограничена параболой $y = x^2$ и прямой $y = 2 - x$. Сначала найдем точки пересечения этих линий, чтобы определить пределы интегрирования. Для этого приравняем выражения для $y$:

$x^2 = 2 - x$

$x^2 + x - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Это и будут наши пределы интегрирования.

На интервале $(-2, 1)$ определим, какая из функций больше. Возьмем тестовую точку $x=0$:

Для $y=x^2$: $y(0) = 0^2 = 0$.

Для $y=2-x$: $y(0) = 2 - 0 = 2$.

Так как $2 > 0$, на интервале $[-2, 1]$ график прямой $y=2-x$ лежит выше графика параболы $y=x^2$. Площадь фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций.

$S = \int_{-2}^{1} ((2 - x) - x^2) \,dx = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^1 = \left(2(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}\right) - \left(2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3}\right)$

$S = \left(2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) - \left(-4 - \frac{4}{2} - \frac{-8}{3}\right) = \left(\frac{12-3-2}{6}\right) - \left(-4 - 2 + \frac{8}{3}\right)$

$S = \frac{7}{6} - \left(-6 + \frac{8}{3}\right) = \frac{7}{6} - \left(\frac{-18+8}{3}\right) = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

Ответ: $9/2$.

4) Фигура ограничена параболой $y = 2x^2$ и прямой $y = 0.5x + 1.5$. Найдем точки пересечения, чтобы определить пределы интегрирования.

$2x^2 = 0.5x + 1.5$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей:

$4x^2 = x + 3$

$4x^2 - x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(4)(-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{1+7}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

$x_2 = \frac{1-7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Пределы интегрирования от $-3/4$ до $1$. Проверим, какая функция больше на этом интервале, взяв точку $x=0$:

Для $y=2x^2$: $y(0) = 0$.

Для $y=0.5x+1.5$: $y(0) = 1.5$.

Прямая $y=0.5x+1.5$ находится выше параболы $y=2x^2$. Площадь вычисляется как:

$S = \int_{-3/4}^{1} (0.5x + 1.5 - 2x^2) \,dx$

$S = \left[ \frac{0.5x^2}{2} + 1.5x - \frac{2x^3}{3} \right]_{-3/4}^1 = \left[ \frac{x^2}{4} + \frac{3x}{2} - \frac{2x^3}{3} \right]_{-3/4}^1$

$S = \left(\frac{1^2}{4} + \frac{3 \cdot 1}{2} - \frac{2 \cdot 1^3}{3}\right) - \left(\frac{(-3/4)^2}{4} + \frac{3(-3/4)}{2} - \frac{2(-3/4)^3}{3}\right)$

$S = \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - \frac{2}{3}\right) - \left(\frac{9/16}{4} - \frac{9}{8} - \frac{2(-27/64)}{3}\right)$

$S = \left(\frac{3+18-8}{12}\right) - \left(\frac{9}{64} - \frac{9}{8} + \frac{54}{192}\right) = \frac{13}{12} - \left(\frac{9}{64} - \frac{72}{64} + \frac{18}{64}\right)$

$S = \frac{13}{12} - \left(\frac{9-72+18}{64}\right) = \frac{13}{12} - \left(-\frac{45}{64}\right) = \frac{13}{12} + \frac{45}{64}$

Приведем к общему знаменателю 192:

$S = \frac{13 \cdot 16}{192} + \frac{45 \cdot 3}{192} = \frac{208+135}{192} = \frac{343}{192}$

Ответ: $\frac{343}{192}$.

5) Фигура ограничена графиком $y = \sqrt[3]{x}$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -8$ и $x = -1$. На отрезке $[-8, -1]$ функция $y = \sqrt[3]{x}$ принимает отрицательные значения (например, $\sqrt[3]{-1}=-1$, $\sqrt[3]{-8}=-2$). Поэтому фигура расположена под осью $x$. Площадь такой фигуры равна модулю интеграла.

$S = \left| \int_{-8}^{-1} \sqrt[3]{x} \,dx \right| = \left| \int_{-8}^{-1} x^{1/3} \,dx \right|$

Найдем интеграл:

$\int_{-8}^{-1} x^{1/3} \,dx = \left[ \frac{x^{4/3}}{4/3} \right]_{-8}^{-1} = \left[ \frac{3}{4}x^{4/3} \right]_{-8}^{-1}$

$= \frac{3}{4}(-1)^{4/3} - \frac{3}{4}(-8)^{4/3} = \frac{3}{4}(\sqrt[3]{-1})^4 - \frac{3}{4}(\sqrt[3]{-8})^4$

$= \frac{3}{4}(-1)^4 - \frac{3}{4}(-2)^4 = \frac{3}{4}(1) - \frac{3}{4}(16) = \frac{3}{4} - \frac{48}{4} = -\frac{45}{4}$

Площадь равна модулю этого значения:

$S = \left|-\frac{45}{4}\right| = \frac{45}{4}$

Ответ: $45/4$.

6) Фигура ограничена графиком $y = \frac{1}{x^3}$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x = -3$ и $x = -1$. На отрезке $[-3, -1]$ функция $y = \frac{1}{x^3}$ отрицательна, так как $x < 0$. Фигура находится под осью $x$, и ее площадь равна модулю соответствующего интеграла.

$S = \left| \int_{-3}^{-1} \frac{1}{x^3} \,dx \right| = \left| \int_{-3}^{-1} x^{-3} \,dx \right|$

Вычислим интеграл:

$\int_{-3}^{-1} x^{-3} \,dx = \left[ \frac{x^{-2}}{-2} \right]_{-3}^{-1} = \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{-3}^{-1}$

$= \left(-\frac{1}{2(-1)^2}\right) - \left(-\frac{1}{2(-3)^2}\right) = -\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2 \cdot 9}\right)$

$= -\frac{1}{2} + \frac{1}{18} = -\frac{9}{18} + \frac{1}{18} = -\frac{8}{18} = -\frac{4}{9}$

Площадь равна модулю полученного значения:

$S = \left|-\frac{4}{9}\right| = \frac{4}{9}$

Ответ: $4/9$.