Номер 398, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Упражнения к главе IV - номер 398, страница 164.

Условие.

398. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1, x = 0, y = 6, x = 1;$

2) $y = x^4 - 2x^2 + 5, y = 1, x = 0, x = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура ограничена кривой $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$, вертикальными прямыми $x=0$, $x=1$ и горизонтальными прямыми $y=6$ и $y=0$.

Сначала исследуем поведение функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$ на отрезке $[0, 1]$. Найдем значения функции на концах отрезка:

При $x=0$, $y = 0^3 - 3(0)^2 - 9(0) + 1 = 1$.

При $x=1$, $y = 1^3 - 3(1)^2 - 9(1) + 1 = 1 - 3 - 9 + 1 = -10$.

Для определения монотонности функции найдем её производную:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 9x + 1)' = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$.

На интервале $(0, 1)$ производная $f'(x)$ отрицательна (например, при $x=0.5$, $f'(0.5) = 3(0.5-3)(0.5+1) < 0$), следовательно, функция $f(x)$ монотонно убывает на всем отрезке $[0, 1]$.

Таким образом, на отрезке $[0, 1]$ значения функции $f(x)$ изменяются от $1$ до $-10$. Это означает, что график функции $y=f(x)$ на данном отрезке всегда находится ниже прямой $y=6$.

Формулировка задачи, в которой указаны две горизонтальные ограничивающие прямые ($y=6$ и $y=0$), может допускать разные трактовки. Однако, наиболее стандартным подходом в таких задачах является вычисление площади между кривой и одной из этих прямых. Вычисление площади между кривой и осью $y=0$ потребовало бы нахождения точки пересечения кривой с осью абсцисс, что приводит к решению сложного кубического уравнения. Более вероятным является предположение, что требуется найти площадь между кривой $y=f(x)$ и прямой $y=6$. В этом случае, площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней функции ($y=6$) и нижней функции ($y=f(x)$) по отрезку $[0, 1]$.

$S = \int_{0}^{1} (6 - (x^3 - 3x^2 - 9x + 1)) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = \int_{0}^{1} (6 - x^3 + 3x^2 + 9x - 1) dx = \int_{0}^{1} (-x^3 + 3x^2 + 9x + 5) dx$

Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^3}{3} + \frac{9x^2}{2} + 5x \right]_{0}^{1} = \left[ -\frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{9x^2}{2} + 5x \right]_{0}^{1}$

$S = \left( -\frac{1^4}{4} + 1^3 + \frac{9 \cdot 1^2}{2} + 5 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{0^4}{4} + 0^3 + \frac{9 \cdot 0^2}{2} + 5 \cdot 0 \right)$

$S = -\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{2} + 5 = -\frac{1}{4} + \frac{4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{20}{4} = \frac{-1+4+18+20}{4} = \frac{41}{4}$

$S = 10.25$

Ответ: $S = \frac{41}{4}$

2)

Фигура ограничена линиями $y = x^4 - 2x^2 + 5$, $y = 1$, $x = 0$ и $x = 1$.

Для нахождения площади необходимо определить, какая из функций, $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$ или $g(x) = 1$, принимает большие значения на отрезке $[0, 1]$. Для этого рассмотрим их разность:

$h(x) = f(x) - g(x) = (x^4 - 2x^2 + 5) - 1 = x^4 - 2x^2 + 4$.

Чтобы определить знак $h(x)$, можно сделать замену $u = x^2$ ($u \ge 0$). Получим квадратное выражение относительно $u$: $u^2 - 2u + 4$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент ($a=1$) положителен, парабола $z = u^2 - 2u + 4$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть $u^2 - 2u + 4 > 0$ для всех значений $u$. Следовательно, и $h(x) = x^4 - 2x^2 + 4 > 0$ для всех действительных $x$. Это означает, что график функции $y = x^4 - 2x^2 + 5$ на всем протяжении, включая отрезок $[0, 1]$, лежит выше прямой $y=1$.

Площадь $S$ искомой фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций на отрезке $[0, 1]$:

$S = \int_{0}^{1} ((x^4 - 2x^2 + 5) - 1) dx = \int_{0}^{1} (x^4 - 2x^2 + 4) dx$.

Вычислим этот интеграл:

$S = \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + 4x \right]_{0}^{1}$

$S = \left( \frac{1^5}{5} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 4 \cdot 1 \right) - \left( \frac{0^5}{5} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 4 \cdot 0 \right)$

$S = \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 4$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$S = \frac{1 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15} + \frac{4 \cdot 15}{15} = \frac{3}{15} - \frac{10}{15} + \frac{60}{15} = \frac{3 - 10 + 60}{15} = \frac{53}{15}$.

Ответ: $S = \frac{53}{15}$