Номер 399, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 399, страница 164.

Условие.

399. При каком значении $k$ площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + px$, где $p$ — заданное число, и прямой $y = kx + 1$, наименьшая?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + px$ и прямой $y = kx + 1$, можно найти с помощью определенного интеграла. Сначала найдем абсциссы точек пересечения графиков, приравняв их уравнения:

$x^2 + px = kx + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + (p-k)x - 1 = 0$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, которые являются абсциссами точек пересечения. Для того чтобы фигура была ограничена, необходимо, чтобы прямая пересекала параболу в двух точках, то есть дискриминант $D$ квадратного уравнения должен быть положителен.

$D = (p-k)^2 - 4(1)(-1) = (p-k)^2 + 4$

Поскольку $(p-k)^2 \ge 0$, дискриминант $D$ всегда положителен ($D \ge 4$), и, следовательно, всегда существуют две точки пересечения.

Площадь $S$ фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций на отрезке $[x_1, x_2]$. Ветви параболы $y = x^2 + px$ направлены вверх, поэтому между точками пересечения прямая $y = kx + 1$ будет находиться выше параболы. Таким образом, площадь $S$ равна:

$S = \int_{x_1}^{x_2} ((kx + 1) - (x^2 + px)) dx = \int_{x_1}^{x_2} (-x^2 + (k-p)x + 1) dx$

Существует общая формула для площади фигуры, ограниченной параболой $y = ax^2 + bx + c$ и прямой, пересекающей ее в точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$: $S = \frac{|a|}{6}(x_2-x_1)^3$.

В нашем случае подынтегральная функция — это $h(x) = -x^2 + (k-p)x + 1$, где коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Следовательно, $|a|=1$, и формула для площади принимает вид:

$S = \frac{1}{6}(x_2-x_1)^3$

Разность корней $x_2 - x_1$ можно найти через дискриминант: $x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{D}}{|a|}$.

$x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{(p-k)^2 + 4}}{1} = \sqrt{(k-p)^2 + 4}$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади, чтобы получить ее зависимость от параметра $k$:

$S(k) = \frac{1}{6}(\sqrt{(k-p)^2 + 4})^3 = \frac{1}{6}((k-p)^2 + 4)^{3/2}$

Нам нужно найти значение $k$, при котором площадь $S(k)$ будет наименьшей. Функция $f(u) = u^{3/2}$ является монотонно возрастающей при $u > 0$. Значит, функция $S(k)$ достигает своего наименьшего значения тогда же, когда и выражение под степенью, то есть $g(k) = (k-p)^2 + 4$.

Функция $g(k) = (k-p)^2 + 4$ — это квадратичная функция от $k$, график которой — парабола с ветвями вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Минимум выражения $(k-p)^2$ равен 0 и достигается при $k-p = 0$.

Отсюда следует, что наименьшее значение площади будет при $k = p$.

Ответ: $k=p$.