Номер 400, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 400, страница 164.

Условие.

400. При нагрузке на пружинную рессору была совершена работа 600 Дж. Каким при этом было сжатие $l$ рессоры, если известно, что при нагрузке 16000 Н она сжималась на 2 см?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала найти коэффициент жесткости рессоры, а затем, зная его, рассчитать искомое сжатие по известной работе.

1. Нахождение коэффициента жесткости ($k$)

Воспользуемся законом Гука, который гласит, что сила упругости $F$, возникающая при деформации тела, пропорциональна величине этой деформации $x$:

$F = kx$

где $k$ – коэффициент жесткости.

По условию, нагрузка $F_1 = 16000$ Н вызывает сжатие $x_1 = 2$ см. Для расчетов необходимо перевести единицы в систему СИ:

$x_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Теперь выразим и вычислим коэффициент жесткости $k$:

$k = \frac{F_1}{x_1} = \frac{16000 \text{ Н}}{0.02 \text{ м}} = 800000 \text{ Н/м}$

2. Нахождение сжатия ($l$) по известной работе

Работа $A$, совершенная при сжатии рессоры, численно равна потенциальной энергии упругой деформации, которая вычисляется по формуле:

$A = \frac{kl^2}{2}$

Нам известна работа $A = 600$ Дж и коэффициент жесткости $k = 800000$ Н/м. Выразим из этой формулы искомое сжатие $l$:

$l^2 = \frac{2A}{k} \implies l = \sqrt{\frac{2A}{k}}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$l = \sqrt{\frac{2 \cdot 600 \text{ Дж}}{800000 \text{ Н/м}}} = \sqrt{\frac{1200}{800000}} \text{ м} = \sqrt{0.0015} \text{ м} \approx 0.0387 \text{ м}$

Для наглядности переведем полученный результат в сантиметры:

$l \approx 0.0387 \text{ м} \times 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} = 3.87 \text{ см}$

Ответ: сжатие рессоры $l$ равно примерно 3,87 см.