Номер 393, страница 163 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 393, страница 163.

Условие.

393. 1) $\int_{0}^{1} (5x^4 - 8x^3) dx;$

2) $\int_{-1}^{1} (6x^3 - 5x) dx;$

3) $\int_{1}^{4} \sqrt{x}\left(3 - \frac{7}{x}\right) dx;$

4) $\int_{1}^{8} 4\sqrt[3]{x}\left(1 - \frac{4}{x}\right) dx;$

5) $\int_{0}^{3} \sqrt{x+1} dx;$

6) $\int_{2}^{6} \sqrt{2x-3} dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} (5x^4 - 8x^3) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 5x^4 - 8x^3$.

$F(x) = \int (5x^4 - 8x^3) dx = 5\int x^4 dx - 8\int x^3 dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 8 \cdot \frac{x^4}{4} = x^5 - 2x^4$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\int_{0}^{1} (5x^4 - 8x^3) dx = (x^5 - 2x^4)|_{0}^{1} = (1^5 - 2 \cdot 1^4) - (0^5 - 2 \cdot 0^4) = (1 - 2) - 0 = -1$.

Ответ: $-1$

2) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} (6x^3 - 5x) dx$. Подынтегральная функция $f(x) = 6x^3 - 5x$ является нечетной, так как $f(-x) = 6(-x)^3 - 5(-x) = -6x^3 + 5x = -(6x^3 - 5x) = -f(x)$. Интеграл от нечетной функции по симметричному промежутку $[-a, a]$ равен нулю.

Проверим это, вычислив интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

Первообразная для $f(x) = 6x^3 - 5x$:

$F(x) = \int (6x^3 - 5x) dx = 6 \cdot \frac{x^4}{4} - 5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3}{2}x^4 - \frac{5}{2}x^2$.

Подставляем пределы интегрирования:

$\int_{-1}^{1} (6x^3 - 5x) dx = (\frac{3}{2}x^4 - \frac{5}{2}x^2)|_{-1}^{1} = (\frac{3}{2}(1)^4 - \frac{5}{2}(1)^2) - (\frac{3}{2}(-1)^4 - \frac{5}{2}(-1)^2) = (\frac{3}{2} - \frac{5}{2}) - (\frac{3}{2} - \frac{5}{2}) = -1 - (-1) = 0$.

Ответ: $0$

3) Для вычисления интеграла $\int_{1}^{4} \sqrt{x}(3 - \frac{7}{x}) dx$ сначала упростим подынтегральное выражение.

$f(x) = \sqrt{x}(3 - \frac{7}{x}) = 3\sqrt{x} - \frac{7\sqrt{x}}{x} = 3x^{1/2} - 7x^{1/2}x^{-1} = 3x^{1/2} - 7x^{-1/2}$.

Теперь найдем первообразную для $f(x)$:

$F(x) = \int (3x^{1/2} - 7x^{-1/2}) dx = 3 \frac{x^{3/2}}{3/2} - 7 \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{3/2} - 14x^{1/2}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{4} (3x^{1/2} - 7x^{-1/2}) dx = (2x^{3/2} - 14x^{1/2})|_{1}^{4} = (2 \cdot 4^{3/2} - 14 \cdot 4^{1/2}) - (2 \cdot 1^{3/2} - 14 \cdot 1^{1/2}) = (2 \cdot (\sqrt{4})^3 - 14 \cdot \sqrt{4}) - (2 - 14) = (2 \cdot 8 - 14 \cdot 2) - (-12) = (16 - 28) + 12 = -12 + 12 = 0$.

Ответ: $0$

4) Вычислим интеграл $\int_{1}^{8} 4\sqrt[3]{x}(1 - \frac{4}{x}) dx$. Упростим подынтегральное выражение.

$f(x) = 4\sqrt[3]{x}(1 - \frac{4}{x}) = 4x^{1/3}(1 - 4x^{-1}) = 4x^{1/3} - 16x^{1/3-1} = 4x^{1/3} - 16x^{-2/3}$.

Найдем первообразную:

$F(x) = \int (4x^{1/3} - 16x^{-2/3}) dx = 4 \frac{x^{4/3}}{4/3} - 16 \frac{x^{1/3}}{1/3} = 3x^{4/3} - 48x^{1/3}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{8} (4x^{1/3} - 16x^{-2/3}) dx = (3x^{4/3} - 48x^{1/3})|_{1}^{8} = (3 \cdot 8^{4/3} - 48 \cdot 8^{1/3}) - (3 \cdot 1^{4/3} - 48 \cdot 1^{1/3}) = (3 \cdot (\sqrt[3]{8})^4 - 48 \cdot \sqrt[3]{8}) - (3 - 48) = (3 \cdot 2^4 - 48 \cdot 2) - (-45) = (3 \cdot 16 - 96) + 45 = (48 - 96) + 45 = -48 + 45 = -3$.

Ответ: $-3$

5) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{3} \sqrt{x+1} dx$ используем метод замены переменной. Пусть $t = x+1$. Тогда $dt = dx$.

Найдем новые пределы интегрирования. Если $x=0$, то $t = 0+1=1$. Если $x=3$, то $t = 3+1=4$.

Интеграл принимает вид: $\int_{1}^{4} \sqrt{t} dt = \int_{1}^{4} t^{1/2} dt$.

Найдем первообразную и применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{4} t^{1/2} dt = (\frac{t^{3/2}}{3/2})|_{1}^{4} = (\frac{2}{3}t^{3/2})|_{1}^{4} = \frac{2}{3}(4^{3/2}) - \frac{2}{3}(1^{3/2}) = \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}(8) - \frac{2}{3} = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$.

Ответ: $\frac{14}{3}$

6) Для вычисления интеграла $\int_{2}^{6} \sqrt{2x-3} dx$ используем метод замены переменной. Пусть $t = 2x-3$. Тогда $dt = 2dx$, откуда $dx = \frac{dt}{2}$.

Найдем новые пределы интегрирования. Если $x=2$, то $t = 2 \cdot 2 - 3 = 1$. Если $x=6$, то $t = 2 \cdot 6 - 3 = 9$.

Интеграл принимает вид: $\int_{1}^{9} \sqrt{t} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{9} t^{1/2} dt$.

Найдем первообразную и применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2}\int_{1}^{9} t^{1/2} dt = \frac{1}{2}(\frac{t^{3/2}}{3/2})|_{1}^{9} = \frac{1}{2}(\frac{2}{3}t^{3/2})|_{1}^{9} = \frac{1}{3}(t^{3/2})|_{1}^{9} = \frac{1}{3}(9^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{1}{3}((\sqrt{9})^3 - 1) = \frac{1}{3}(27 - 1) = \frac{26}{3}$.

Ответ: $\frac{26}{3}$