Номер 395, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Упражнения к главе IV - номер 395, страница 164.

Условие.

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями (395—396).

395. 1) $y = \frac{1}{x}$, $y = 4x$, $x = 1$, $y = 0$;

2) $y = \frac{1}{x^2}$, $y = x$, $x = 2$, $y = 0$;

3) $y = x^2 + 1$, $y = x + 1$;

4) $y = x^2 + 2$, $y = 2x + 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 4x$, $x = 1$ и $y = 0$. Для нахождения площади этой фигуры необходимо сначала определить ее границы. Фигура расположена в первом квадранте. Нижняя граница — ось абсцисс ($y=0$), правая граница — вертикальная прямая $x=1$. Верхняя граница фигуры состоит из двух частей, которые меняются в точке пересечения графиков функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = 4x$.

Найдем точку пересечения:

$\frac{1}{x} = 4x$

$4x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{4}$

Поскольку мы рассматриваем первый квадрант, $x > 0$, следовательно, $x = \frac{1}{2}$.

Таким образом, фигуру можно разбить на две части:

1. На промежутке $[0, \frac{1}{2}]$ фигура ограничена сверху прямой $y = 4x$, а снизу — осью $y=0$.

2. На промежутке $[\frac{1}{2}, 1]$ фигура ограничена сверху гиперболой $y = \frac{1}{x}$, а снизу — осью $y=0$.

Площадь фигуры $S$ равна сумме площадей этих двух частей:

$S = S_1 + S_2 = \int_{0}^{1/2} 4x \,dx + \int_{1/2}^{1} \frac{1}{x} \,dx$

Вычислим каждый интеграл:

$S_1 = \int_{0}^{1/2} 4x \,dx = 4 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1/2} = 2 \left[ x^2 \right]_{0}^{1/2} = 2 \left( \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 0^2 \right) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

$S_2 = \int_{1/2}^{1} \frac{1}{x} \,dx = \left[ \ln|x| \right]_{1/2}^{1} = \ln(1) - \ln\left(\frac{1}{2}\right) = 0 - (-\ln 2) = \ln 2$.

Общая площадь:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + \ln 2$.

Ответ: $S = \frac{1}{2} + \ln 2$.

2)

Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $y = x$, $x = 2$ и $y = 0$. Как и в предыдущем случае, фигура расположена в первом квадранте, ограничена снизу осью $y=0$ и справа прямой $x=2$. Верхняя граница состоит из двух частей. Найдем точку их пересечения:

$\frac{1}{x^2} = x$

$x^3 = 1$

$x = 1$.

Фигура разбивается на две части в точке $x=1$:

1. На промежутке $[0, 1]$ фигура ограничена сверху прямой $y = x$.

2. На промежутке $[1, 2]$ фигура ограничена сверху кривой $y = \frac{1}{x^2}$.

Площадь фигуры $S$ равна сумме площадей этих частей:

$S = \int_{0}^{1} x \,dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx$

Вычислим интегралы:

$S_1 = \int_{0}^{1} x \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$.

$S_2 = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx = \int_{1}^{2} x^{-2} \,dx = \left[ \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{1}^{2} = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Общая площадь:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $S = 1$.

3)

Фигура ограничена линиями $y = x^2 + 1$ и $y = x + 1$. Сначала найдем точки пересечения этих двух линий, чтобы определить пределы интегрирования:

$x^2 + 1 = x + 1$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Точки пересечения имеют абсциссы $x = 0$ и $x = 1$.

Теперь определим, какая функция находится выше на интервале $(0, 1)$. Возьмем пробную точку, например, $x = 0.5$:

Для $y = x^2 + 1$: $y = (0.5)^2 + 1 = 0.25 + 1 = 1.25$.

Для $y = x + 1$: $y = 0.5 + 1 = 1.5$.

Поскольку $1.5 > 1.25$, на интервале $[0, 1]$ прямая $y = x + 1$ находится выше параболы $y = x^2 + 1$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{1} \left( (x + 1) - (x^2 + 1) \right) \,dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \,dx$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}\right) - \left(\frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $S = \frac{1}{6}$.

4)

Фигура ограничена линиями $y = x^2 + 2$ и $y = 2x + 2$. Найдем точки пересечения графиков:

$x^2 + 2 = 2x + 2$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

Точки пересечения имеют абсциссы $x = 0$ и $x = 2$. Это наши пределы интегрирования.

Определим, какая функция больше на интервале $(0, 2)$. Возьмем пробную точку $x = 1$:

Для $y = x^2 + 2$: $y = 1^2 + 2 = 3$.

Для $y = 2x + 2$: $y = 2(1) + 2 = 4$.

Так как $4 > 3$, на интервале $[0, 2]$ прямая $y = 2x + 2$ лежит выше параболы $y = x^2 + 2$.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{0}^{2} \left( (2x + 2) - (x^2 + 2) \right) \,dx = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \,dx$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[ 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - (0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $S = \frac{4}{3}$.