Номер 394, страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 394, страница 164.

Условие.

394. 1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) dx;$

2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3}\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) dx;$

3) $\int_{1}^{3} 3\sin\left(3x - 6\right) dx;$

4) $\int_{0}^{3} 8\cos\left(4x - 12\right) dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) dx$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{4})$.

Используя правило интегрирования $\int k \cdot g(x) dx = k \int g(x) dx$ и табличный интеграл $\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$, получаем:

$F(x) = \int \frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) dx = \frac{1}{2} \int \cos(x + \frac{\pi}{4}) dx = \frac{1}{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) dx = [\frac{1}{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2} \sin(0 + \frac{\pi}{4})$

$= \frac{1}{2} \sin(\frac{3\pi}{4}) - \frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{4})$

Зная, что $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = 0$.

Ответ: 0

2) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3}\cos(x - \frac{\pi}{3}) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{3}\cos(x - \frac{\pi}{3})$.

$F(x) = \int \frac{1}{3}\cos(x - \frac{\pi}{3}) dx = \frac{1}{3} \int \cos(x - \frac{\pi}{3}) dx = \frac{1}{3} \sin(x - \frac{\pi}{3})$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3}\cos(x - \frac{\pi}{3}) dx = [\frac{1}{3} \sin(x - \frac{\pi}{3})]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

$= \frac{1}{3} \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) - \frac{1}{3} \sin(0 - \frac{\pi}{3})$

$= \frac{1}{3} \sin(0) - \frac{1}{3} \sin(-\frac{\pi}{3})$

Так как $\sin(0) = 0$ и $\sin(-y) = -\sin(y)$, то $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$= \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0 + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$

3) Вычислим определенный интеграл $\int_{1}^{3} 3\sin(3x - 6) dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 3\sin(3x - 6)$. Используем правило $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b)+C$.

$F(x) = \int 3\sin(3x - 6) dx = 3 \int \sin(3x - 6) dx = 3 \cdot (-\frac{1}{3}\cos(3x - 6)) = -\cos(3x - 6)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{3} 3\sin(3x - 6) dx = [-\cos(3x - 6)]_{1}^{3}$

$= (-\cos(3 \cdot 3 - 6)) - (-\cos(3 \cdot 1 - 6))$

$= -\cos(9 - 6) + \cos(3 - 6)$

$= -\cos(3) + \cos(-3)$

Так как функция косинус четная, $\cos(-y) = \cos(y)$, то $\cos(-3) = \cos(3)$.

$= -\cos(3) + \cos(3) = 0$.

Ответ: 0

4) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{3} 8\cos(4x - 12) dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 8\cos(4x - 12)$. Используем правило $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b)+C$.

$F(x) = \int 8\cos(4x - 12) dx = 8 \int \cos(4x - 12) dx = 8 \cdot \frac{1}{4}\sin(4x - 12) = 2\sin(4x - 12)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{3} 8\cos(4x - 12) dx = [2\sin(4x - 12)]_{0}^{3}$

$= (2\sin(4 \cdot 3 - 12)) - (2\sin(4 \cdot 0 - 12))$

$= 2\sin(12 - 12) - 2\sin(0 - 12)$

$= 2\sin(0) - 2\sin(-12)$

Так как $\sin(0) = 0$ и функция синус нечетная, $\sin(-y) = -\sin(y)$, то $\sin(-12) = -\sin(12)$.

$= 2 \cdot 0 - 2(-\sin(12)) = 0 + 2\sin(12) = 2\sin(12)$.

Ответ: $2\sin(12)$