Страница 164 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

394. 1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) dx;$

2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3}\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) dx;$

3) $\int_{1}^{3} 3\sin\left(3x - 6\right) dx;$

4) $\int_{0}^{3} 8\cos\left(4x - 12\right) dx.$

1) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) dx$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{4})$.

Используя правило интегрирования $\int k \cdot g(x) dx = k \int g(x) dx$ и табличный интеграл $\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$, получаем:

$F(x) = \int \frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) dx = \frac{1}{2} \int \cos(x + \frac{\pi}{4}) dx = \frac{1}{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) dx = [\frac{1}{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2} \sin(0 + \frac{\pi}{4})$

$= \frac{1}{2} \sin(\frac{3\pi}{4}) - \frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{4})$

Зная, что $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = 0$.

Ответ: 0

2) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3}\cos(x - \frac{\pi}{3}) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{3}\cos(x - \frac{\pi}{3})$.

$F(x) = \int \frac{1}{3}\cos(x - \frac{\pi}{3}) dx = \frac{1}{3} \int \cos(x - \frac{\pi}{3}) dx = \frac{1}{3} \sin(x - \frac{\pi}{3})$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3}\cos(x - \frac{\pi}{3}) dx = [\frac{1}{3} \sin(x - \frac{\pi}{3})]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

$= \frac{1}{3} \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) - \frac{1}{3} \sin(0 - \frac{\pi}{3})$

$= \frac{1}{3} \sin(0) - \frac{1}{3} \sin(-\frac{\pi}{3})$

Так как $\sin(0) = 0$ и $\sin(-y) = -\sin(y)$, то $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$= \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0 + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$

3) Вычислим определенный интеграл $\int_{1}^{3} 3\sin(3x - 6) dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 3\sin(3x - 6)$. Используем правило $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b)+C$.

$F(x) = \int 3\sin(3x - 6) dx = 3 \int \sin(3x - 6) dx = 3 \cdot (-\frac{1}{3}\cos(3x - 6)) = -\cos(3x - 6)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{3} 3\sin(3x - 6) dx = [-\cos(3x - 6)]_{1}^{3}$

$= (-\cos(3 \cdot 3 - 6)) - (-\cos(3 \cdot 1 - 6))$

$= -\cos(9 - 6) + \cos(3 - 6)$

$= -\cos(3) + \cos(-3)$

Так как функция косинус четная, $\cos(-y) = \cos(y)$, то $\cos(-3) = \cos(3)$.

$= -\cos(3) + \cos(3) = 0$.

Ответ: 0

4) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{3} 8\cos(4x - 12) dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 8\cos(4x - 12)$. Используем правило $\int \cos(kx+b)dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b)+C$.

$F(x) = \int 8\cos(4x - 12) dx = 8 \int \cos(4x - 12) dx = 8 \cdot \frac{1}{4}\sin(4x - 12) = 2\sin(4x - 12)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{3} 8\cos(4x - 12) dx = [2\sin(4x - 12)]_{0}^{3}$

$= (2\sin(4 \cdot 3 - 12)) - (2\sin(4 \cdot 0 - 12))$

$= 2\sin(12 - 12) - 2\sin(0 - 12)$

$= 2\sin(0) - 2\sin(-12)$

Так как $\sin(0) = 0$ и функция синус нечетная, $\sin(-y) = -\sin(y)$, то $\sin(-12) = -\sin(12)$.

$= 2 \cdot 0 - 2(-\sin(12)) = 0 + 2\sin(12) = 2\sin(12)$.

Ответ: $2\sin(12)$

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями (395—396).

395. 1) $y = \frac{1}{x}$, $y = 4x$, $x = 1$, $y = 0$;

2) $y = \frac{1}{x^2}$, $y = x$, $x = 2$, $y = 0$;

3) $y = x^2 + 1$, $y = x + 1$;

4) $y = x^2 + 2$, $y = 2x + 2$.

1)

Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 4x$, $x = 1$ и $y = 0$. Для нахождения площади этой фигуры необходимо сначала определить ее границы. Фигура расположена в первом квадранте. Нижняя граница — ось абсцисс ($y=0$), правая граница — вертикальная прямая $x=1$. Верхняя граница фигуры состоит из двух частей, которые меняются в точке пересечения графиков функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = 4x$.

Найдем точку пересечения:

$\frac{1}{x} = 4x$

$4x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{4}$

Поскольку мы рассматриваем первый квадрант, $x > 0$, следовательно, $x = \frac{1}{2}$.

Таким образом, фигуру можно разбить на две части:

1. На промежутке $[0, \frac{1}{2}]$ фигура ограничена сверху прямой $y = 4x$, а снизу — осью $y=0$.

2. На промежутке $[\frac{1}{2}, 1]$ фигура ограничена сверху гиперболой $y = \frac{1}{x}$, а снизу — осью $y=0$.

Площадь фигуры $S$ равна сумме площадей этих двух частей:

$S = S_1 + S_2 = \int_{0}^{1/2} 4x \,dx + \int_{1/2}^{1} \frac{1}{x} \,dx$

Вычислим каждый интеграл:

$S_1 = \int_{0}^{1/2} 4x \,dx = 4 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1/2} = 2 \left[ x^2 \right]_{0}^{1/2} = 2 \left( \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 0^2 \right) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

$S_2 = \int_{1/2}^{1} \frac{1}{x} \,dx = \left[ \ln|x| \right]_{1/2}^{1} = \ln(1) - \ln\left(\frac{1}{2}\right) = 0 - (-\ln 2) = \ln 2$.

Общая площадь:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + \ln 2$.

Ответ: $S = \frac{1}{2} + \ln 2$.

2)

Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $y = x$, $x = 2$ и $y = 0$. Как и в предыдущем случае, фигура расположена в первом квадранте, ограничена снизу осью $y=0$ и справа прямой $x=2$. Верхняя граница состоит из двух частей. Найдем точку их пересечения:

$\frac{1}{x^2} = x$

$x^3 = 1$

$x = 1$.

Фигура разбивается на две части в точке $x=1$:

1. На промежутке $[0, 1]$ фигура ограничена сверху прямой $y = x$.

2. На промежутке $[1, 2]$ фигура ограничена сверху кривой $y = \frac{1}{x^2}$.

Площадь фигуры $S$ равна сумме площадей этих частей:

$S = \int_{0}^{1} x \,dx + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx$

Вычислим интегралы:

$S_1 = \int_{0}^{1} x \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$.

$S_2 = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx = \int_{1}^{2} x^{-2} \,dx = \left[ \frac{x^{-1}}{-1} \right]_{1}^{2} = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Общая площадь:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $S = 1$.

3)

Фигура ограничена линиями $y = x^2 + 1$ и $y = x + 1$. Сначала найдем точки пересечения этих двух линий, чтобы определить пределы интегрирования:

$x^2 + 1 = x + 1$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Точки пересечения имеют абсциссы $x = 0$ и $x = 1$.

Теперь определим, какая функция находится выше на интервале $(0, 1)$. Возьмем пробную точку, например, $x = 0.5$:

Для $y = x^2 + 1$: $y = (0.5)^2 + 1 = 0.25 + 1 = 1.25$.

Для $y = x + 1$: $y = 0.5 + 1 = 1.5$.

Поскольку $1.5 > 1.25$, на интервале $[0, 1]$ прямая $y = x + 1$ находится выше параболы $y = x^2 + 1$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{1} \left( (x + 1) - (x^2 + 1) \right) \,dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \,dx$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}\right) - \left(\frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $S = \frac{1}{6}$.

4)

Фигура ограничена линиями $y = x^2 + 2$ и $y = 2x + 2$. Найдем точки пересечения графиков:

$x^2 + 2 = 2x + 2$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

Точки пересечения имеют абсциссы $x = 0$ и $x = 2$. Это наши пределы интегрирования.

Определим, какая функция больше на интервале $(0, 2)$. Возьмем пробную точку $x = 1$:

Для $y = x^2 + 2$: $y = 1^2 + 2 = 3$.

Для $y = 2x + 2$: $y = 2(1) + 2 = 4$.

Так как $4 > 3$, на интервале $[0, 2]$ прямая $y = 2x + 2$ лежит выше параболы $y = x^2 + 2$.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{0}^{2} \left( (2x + 2) - (x^2 + 2) \right) \,dx = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \,dx$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[ 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - (0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $S = \frac{4}{3}$.

396. 1) $y = x^2 - 6x + 9$, $y = x^2 + 4x + 4$, $y = 0;$

2) $y = x^2 + 1$, $y = 3 - x^2;$

3) $y = x^2$, $y = 2\sqrt{2x};$

4) $y = \sqrt{x}$, $y = \sqrt{4-3x}$, $y = 0.$

1) Фигура ограничена линиями $y = x^2 - 6x + 9$, $y = x^2 + 4x + 4$ и $y = 0$.

Преобразуем уравнения парабол, выделив полные квадраты: $y_1 = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ и $y_2 = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$. Это параболы с ветвями вверх. Вершина первой параболы находится в точке $(3, 0)$, а второй — в точке $(-2, 0)$. Обе параболы касаются оси $Ox$ ($y=0$) в своих вершинах.

Найдем точку пересечения парабол, приравняв их уравнения: $x^2 - 6x + 9 = x^2 + 4x + 4$. Отсюда получаем $-10x = -5$, то есть $x = 0.5$. Ордината точки пересечения $y = (0.5 - 3)^2 = (-2.5)^2 = 6.25$.

Фигура ограничена снизу осью $Ox$. Сверху фигура ограничена графиком функции $y = (x + 2)^2$ на отрезке $[-2, 0.5]$ и графиком функции $y = (x - 3)^2$ на отрезке $[0.5, 3]$. Площадь фигуры $S$ равна сумме двух интегралов:

$S = \int_{-2}^{0.5} (x+2)^2 dx + \int_{0.5}^{3} (x-3)^2 dx$

Вычислим первый интеграл: $\int_{-2}^{0.5} (x+2)^2 dx = \left[ \frac{(x+2)^3}{3} \right]_{-2}^{0.5} = \frac{(0.5+2)^3}{3} - \frac{(-2+2)^3}{3} = \frac{(2.5)^3}{3} - 0 = \frac{15.625}{3} = \frac{125/8}{3} = \frac{125}{24}$.

Вычислим второй интеграл: $\int_{0.5}^{3} (x-3)^2 dx = \left[ \frac{(x-3)^3}{3} \right]_{0.5}^{3} = \frac{(3-3)^3}{3} - \frac{(0.5-3)^3}{3} = 0 - \frac{(-2.5)^3}{3} = \frac{15.625}{3} = \frac{125}{24}$.

Общая площадь: $S = \frac{125}{24} + \frac{125}{24} = \frac{250}{24} = \frac{125}{12}$.

Ответ: $\frac{125}{12}$

2) Фигура ограничена параболами $y = x^2 + 1$ и $y = 3 - x^2$.

Парабола $y_1 = x^2 + 1$ имеет вершину в точке $(0, 1)$ и ветви направлены вверх. Парабола $y_2 = 3 - x^2$ имеет вершину в точке $(0, 3)$ и ветви направлены вниз.

Найдем точки пересечения графиков: $x^2 + 1 = 3 - x^2$. Отсюда $2x^2 = 2$, $x^2 = 1$, что дает $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

На интервале $(-1, 1)$ парабола $y = 3 - x^2$ находится выше параболы $y = x^2 + 1$. Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности функций (верхней и нижней):

$S = \int_{-1}^{1} ((3 - x^2) - (x^2 + 1)) dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2) dx$.

Так как подынтегральная функция $f(x) = 2 - 2x^2$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно упростить вычисление: $S = 2 \int_{0}^{1} (2 - 2x^2) dx$.

Вычисляем интеграл: $S = 2 \left[ 2x - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( (2 \cdot 1 - \frac{2 \cdot 1^3}{3}) - (0) \right) = 2 \left( 2 - \frac{2}{3} \right) = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$

3) Фигура ограничена параболой $y = x^2$ и кривой $y = 2\sqrt{2x}$.

Область определения функции $y = 2\sqrt{2x}$ — это $x \ge 0$. Оба графика начинаются в точке $(0, 0)$.

Найдем точки пересечения: $x^2 = 2\sqrt{2x}$. Возведем обе части в квадрат (при условии $x \ge 0$): $(x^2)^2 = (2\sqrt{2x})^2$, что дает $x^4 = 4(2x) = 8x$.

Решим уравнение $x^4 - 8x = 0 \implies x(x^3 - 8) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

На отрезке $[0, 2]$ определим, какая функция больше. Возьмем пробную точку $x=1$: $y(1) = 1^2 = 1$ для первой кривой, и $y(1) = 2\sqrt{2 \cdot 1} = 2\sqrt{2}$ для второй. Так как $2\sqrt{2} > 1$, кривая $y = 2\sqrt{2x}$ лежит выше параболы $y = x^2$.

Площадь фигуры вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{2} (2\sqrt{2x} - x^2) dx = \int_{0}^{2} (2\sqrt{2}x^{1/2} - x^2) dx$.

Вычисляем интеграл: $S = \left[ 2\sqrt{2} \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ \frac{4\sqrt{2}}{3} x^{3/2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 2^{3/2} - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = \frac{4\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} - \frac{8}{3} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$

4) Фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $y = \sqrt{4 - 3x}$ и $y = 0$ (ось $Ox$).

Функция $y_1 = \sqrt{x}$ определена при $x \ge 0$. Ее график выходит из точки $(0, 0)$. Функция $y_2 = \sqrt{4 - 3x}$ определена при $4 - 3x \ge 0$, то есть $x \le 4/3$. Ее график пересекает ось $Ox$ в точке $(4/3, 0)$.

Найдем точку пересечения кривых $y_1$ и $y_2$: $\sqrt{x} = \sqrt{4 - 3x}$. Возведя обе части в квадрат, получим: $x = 4 - 3x$, откуда $4x = 4$, $x=1$. Ордината точки пересечения $y = \sqrt{1} = 1$.

Фигура ограничена снизу осью $Ox$. Верхняя граница фигуры на отрезке $[0, 1]$ задается функцией $y = \sqrt{x}$, а на отрезке $[1, 4/3]$ — функцией $y = \sqrt{4 - 3x}$.

Площадь фигуры $S$ равна сумме двух интегралов:

$S = \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx + \int_{1}^{4/3} \sqrt{4 - 3x} dx$.

Вычислим первый интеграл: $\int_{0}^{1} x^{1/2} dx = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}(1) - 0 = \frac{2}{3}$.

Вычислим второй интеграл с помощью замены $u = 4 - 3x$, тогда $du = -3dx$, $dx = -du/3$. Новые пределы интегрирования: при $x=1$, $u=4-3=1$; при $x=4/3$, $u=4-3(4/3)=0$.

$\int_{1}^{4/3} \sqrt{4 - 3x} dx = \int_{1}^{0} \sqrt{u} (-\frac{1}{3}du) = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} u^{1/2} du = \frac{1}{3} \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$.

Общая площадь: $S = \frac{2}{3} + \frac{2}{9} = \frac{6}{9} + \frac{2}{9} = \frac{8}{9}$.

Ответ: $\frac{8}{9}$

397. Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y=x^2-2x+2$, касательной к ней, проходящей через точку пересечения параболы с осью $Oy$, и прямой $x=1$;

2) гиперболой $y=\frac{4}{x}$, касательной к ней, проходящей через точку с абсциссой $x=2$, и прямыми $y=0$, $x=6$.

1) Найдём площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 2x + 2$, касательной к ней, проходящей через точку пересечения параболы с осью Oy, и прямой $x=1$.

Сначала найдём точку пересечения параболы с осью Oy. Уравнение оси Oy - это $x=0$. Подставив $x=0$ в уравнение параболы, получим:
$y(0) = 0^2 - 2(0) + 2 = 2$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(0, 2)$.

Теперь найдём уравнение касательной к параболе в этой точке. Уравнение касательной к кривой $y=f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$.
В нашем случае $f(x) = x^2 - 2x + 2$ и $x_0 = 0$.
Найдём производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 2x + 2)' = 2x - 2$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 2(0) - 2 = -2$. Это угловой коэффициент касательной.
Подставим известные значения в уравнение касательной:
$y - 2 = -2(x - 0)$
$y = -2x + 2$.

Искомая фигура ограничена сверху параболой $y = x^2 - 2x + 2$, снизу касательной $y = -2x + 2$, и прямыми $x=0$ (ось Oy) и $x=1$.
Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций в заданных пределах интегрирования от $x=0$ до $x=1$:
$S = \int_{0}^{1} ((x^2 - 2x + 2) - (-2x + 2)) dx$
$S = \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 2 + 2x - 2) dx = \int_{0}^{1} x^2 dx$
Вычисляем интеграл:
$S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

2) Найдём площадь фигуры, ограниченной гиперболой $y = \frac{4}{x}$, касательной к ней, проходящей через точку с абсциссой $x=2$, и прямыми $y=0$, $x=6$.

Сначала найдём точку касания и уравнение касательной. Абсцисса точки касания $x_0 = 2$.
Найдём ординату точки касания, подставив $x_0=2$ в уравнение гиперболы:
$y_0 = \frac{4}{2} = 2$.
Точка касания: $(2, 2)$.

Найдём уравнение касательной. Функция $f(x) = \frac{4}{x} = 4x^{-1}$.
Её производная:
$f'(x) = -4x^{-2} = -\frac{4}{x^2}$.
Угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 2$:
$f'(2) = -\frac{4}{2^2} = -1$.
Уравнение касательной:
$y - 2 = -1(x - 2)$
$y = -x + 2 + 2$
$y = -x + 4$.

Теперь определим границы фигуры. Она ограничена четырьмя кривыми: гиперболой $y = 4/x$, касательной $y = -x + 4$, осью абсцисс $y=0$ и вертикальной прямой $x=6$.
Найдём точки пересечения этих линий, чтобы понять форму фигуры:

• Касательная и гипербола пересекаются в точке касания $(2, 2)$.
• Касательная $y=-x+4$ пересекает ось $y=0$ в точке, где $-x+4=0$, то есть при $x=4$. Точка пересечения: $(4, 0)$.
• Прямая $x=6$ пересекает ось $y=0$ в точке $(6, 0)$.
• Прямая $x=6$ пересекает гиперболу $y=4/x$ в точке $(6, 4/6) = (6, 2/3)$.

Таким образом, фигура представляет собой замкнутую область, ограниченную отрезком касательной от $(2,2)$ до $(4,0)$, отрезком оси Ox от $(4,0)$ до $(6,0)$, отрезком прямой $x=6$ от $(6,0)$ до $(6, 2/3)$ и дугой гиперболы от $(6, 2/3)$ до $(2,2)$.

Площадь этой фигуры можно вычислить как разность площадей двух криволинейных трапеций: площади под гиперболой на отрезке $[2, 6]$ и площади под касательной на отрезке $[2, 4]$ (это треугольник).
Площадь под гиперболой от $x=2$ до $x=6$:
$S_1 = \int_{2}^{6} \frac{4}{x} dx = 4[\ln|x|]_{2}^{6} = 4(\ln 6 - \ln 2) = 4\ln\left(\frac{6}{2}\right) = 4\ln 3$.
Площадь под касательной от $x=2$ до $x=4$:
$S_2 = \int_{2}^{4} (-x + 4) dx = \left[-\frac{x^2}{2} + 4x\right]_{2}^{4} = \left(-\frac{4^2}{2} + 4 \cdot 4\right) - \left(-\frac{2^2}{2} + 4 \cdot 2\right) = (-8 + 16) - (-2 + 8) = 8 - 6 = 2$.
Искомая площадь $S$ равна разности этих площадей:
$S = S_1 - S_2 = 4\ln 3 - 2$.

Ответ: $4\ln 3 - 2$

398. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1, x = 0, y = 6, x = 1;$

2) $y = x^4 - 2x^2 + 5, y = 1, x = 0, x = 1.$

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура ограничена кривой $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$, вертикальными прямыми $x=0$, $x=1$ и горизонтальными прямыми $y=6$ и $y=0$.

Сначала исследуем поведение функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$ на отрезке $[0, 1]$. Найдем значения функции на концах отрезка:

При $x=0$, $y = 0^3 - 3(0)^2 - 9(0) + 1 = 1$.

При $x=1$, $y = 1^3 - 3(1)^2 - 9(1) + 1 = 1 - 3 - 9 + 1 = -10$.

Для определения монотонности функции найдем её производную:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2 - 9x + 1)' = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$.

На интервале $(0, 1)$ производная $f'(x)$ отрицательна (например, при $x=0.5$, $f'(0.5) = 3(0.5-3)(0.5+1) < 0$), следовательно, функция $f(x)$ монотонно убывает на всем отрезке $[0, 1]$.

Таким образом, на отрезке $[0, 1]$ значения функции $f(x)$ изменяются от $1$ до $-10$. Это означает, что график функции $y=f(x)$ на данном отрезке всегда находится ниже прямой $y=6$.

Формулировка задачи, в которой указаны две горизонтальные ограничивающие прямые ($y=6$ и $y=0$), может допускать разные трактовки. Однако, наиболее стандартным подходом в таких задачах является вычисление площади между кривой и одной из этих прямых. Вычисление площади между кривой и осью $y=0$ потребовало бы нахождения точки пересечения кривой с осью абсцисс, что приводит к решению сложного кубического уравнения. Более вероятным является предположение, что требуется найти площадь между кривой $y=f(x)$ и прямой $y=6$. В этом случае, площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней функции ($y=6$) и нижней функции ($y=f(x)$) по отрезку $[0, 1]$.

$S = \int_{0}^{1} (6 - (x^3 - 3x^2 - 9x + 1)) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = \int_{0}^{1} (6 - x^3 + 3x^2 + 9x - 1) dx = \int_{0}^{1} (-x^3 + 3x^2 + 9x + 5) dx$

Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^3}{3} + \frac{9x^2}{2} + 5x \right]_{0}^{1} = \left[ -\frac{x^4}{4} + x^3 + \frac{9x^2}{2} + 5x \right]_{0}^{1}$

$S = \left( -\frac{1^4}{4} + 1^3 + \frac{9 \cdot 1^2}{2} + 5 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{0^4}{4} + 0^3 + \frac{9 \cdot 0^2}{2} + 5 \cdot 0 \right)$

$S = -\frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{2} + 5 = -\frac{1}{4} + \frac{4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{20}{4} = \frac{-1+4+18+20}{4} = \frac{41}{4}$

$S = 10.25$

Ответ: $S = \frac{41}{4}$

2)

Фигура ограничена линиями $y = x^4 - 2x^2 + 5$, $y = 1$, $x = 0$ и $x = 1$.

Для нахождения площади необходимо определить, какая из функций, $f(x) = x^4 - 2x^2 + 5$ или $g(x) = 1$, принимает большие значения на отрезке $[0, 1]$. Для этого рассмотрим их разность:

$h(x) = f(x) - g(x) = (x^4 - 2x^2 + 5) - 1 = x^4 - 2x^2 + 4$.

Чтобы определить знак $h(x)$, можно сделать замену $u = x^2$ ($u \ge 0$). Получим квадратное выражение относительно $u$: $u^2 - 2u + 4$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент ($a=1$) положителен, парабола $z = u^2 - 2u + 4$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть $u^2 - 2u + 4 > 0$ для всех значений $u$. Следовательно, и $h(x) = x^4 - 2x^2 + 4 > 0$ для всех действительных $x$. Это означает, что график функции $y = x^4 - 2x^2 + 5$ на всем протяжении, включая отрезок $[0, 1]$, лежит выше прямой $y=1$.

Площадь $S$ искомой фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций на отрезке $[0, 1]$:

$S = \int_{0}^{1} ((x^4 - 2x^2 + 5) - 1) dx = \int_{0}^{1} (x^4 - 2x^2 + 4) dx$.

Вычислим этот интеграл:

$S = \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + 4x \right]_{0}^{1}$

$S = \left( \frac{1^5}{5} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 4 \cdot 1 \right) - \left( \frac{0^5}{5} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 4 \cdot 0 \right)$

$S = \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 4$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$S = \frac{1 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15} + \frac{4 \cdot 15}{15} = \frac{3}{15} - \frac{10}{15} + \frac{60}{15} = \frac{3 - 10 + 60}{15} = \frac{53}{15}$.

Ответ: $S = \frac{53}{15}$

399. При каком значении $k$ площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + px$, где $p$ — заданное число, и прямой $y = kx + 1$, наименьшая?

Площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + px$ и прямой $y = kx + 1$, можно найти с помощью определенного интеграла. Сначала найдем абсциссы точек пересечения графиков, приравняв их уравнения:

$x^2 + px = kx + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + (p-k)x - 1 = 0$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, которые являются абсциссами точек пересечения. Для того чтобы фигура была ограничена, необходимо, чтобы прямая пересекала параболу в двух точках, то есть дискриминант $D$ квадратного уравнения должен быть положителен.

$D = (p-k)^2 - 4(1)(-1) = (p-k)^2 + 4$

Поскольку $(p-k)^2 \ge 0$, дискриминант $D$ всегда положителен ($D \ge 4$), и, следовательно, всегда существуют две точки пересечения.

Площадь $S$ фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций на отрезке $[x_1, x_2]$. Ветви параболы $y = x^2 + px$ направлены вверх, поэтому между точками пересечения прямая $y = kx + 1$ будет находиться выше параболы. Таким образом, площадь $S$ равна:

$S = \int_{x_1}^{x_2} ((kx + 1) - (x^2 + px)) dx = \int_{x_1}^{x_2} (-x^2 + (k-p)x + 1) dx$

Существует общая формула для площади фигуры, ограниченной параболой $y = ax^2 + bx + c$ и прямой, пересекающей ее в точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$: $S = \frac{|a|}{6}(x_2-x_1)^3$.

В нашем случае подынтегральная функция — это $h(x) = -x^2 + (k-p)x + 1$, где коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Следовательно, $|a|=1$, и формула для площади принимает вид:

$S = \frac{1}{6}(x_2-x_1)^3$

Разность корней $x_2 - x_1$ можно найти через дискриминант: $x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{D}}{|a|}$.

$x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{(p-k)^2 + 4}}{1} = \sqrt{(k-p)^2 + 4}$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади, чтобы получить ее зависимость от параметра $k$:

$S(k) = \frac{1}{6}(\sqrt{(k-p)^2 + 4})^3 = \frac{1}{6}((k-p)^2 + 4)^{3/2}$

Нам нужно найти значение $k$, при котором площадь $S(k)$ будет наименьшей. Функция $f(u) = u^{3/2}$ является монотонно возрастающей при $u > 0$. Значит, функция $S(k)$ достигает своего наименьшего значения тогда же, когда и выражение под степенью, то есть $g(k) = (k-p)^2 + 4$.

Функция $g(k) = (k-p)^2 + 4$ — это квадратичная функция от $k$, график которой — парабола с ветвями вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Минимум выражения $(k-p)^2$ равен 0 и достигается при $k-p = 0$.

Отсюда следует, что наименьшее значение площади будет при $k = p$.

Ответ: $k=p$.

400. При нагрузке на пружинную рессору была совершена работа 600 Дж. Каким при этом было сжатие $l$ рессоры, если известно, что при нагрузке 16000 Н она сжималась на 2 см?

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала найти коэффициент жесткости рессоры, а затем, зная его, рассчитать искомое сжатие по известной работе.

1. Нахождение коэффициента жесткости ($k$)

Воспользуемся законом Гука, который гласит, что сила упругости $F$, возникающая при деформации тела, пропорциональна величине этой деформации $x$:

$F = kx$

где $k$ – коэффициент жесткости.

По условию, нагрузка $F_1 = 16000$ Н вызывает сжатие $x_1 = 2$ см. Для расчетов необходимо перевести единицы в систему СИ:

$x_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Теперь выразим и вычислим коэффициент жесткости $k$:

$k = \frac{F_1}{x_1} = \frac{16000 \text{ Н}}{0.02 \text{ м}} = 800000 \text{ Н/м}$

2. Нахождение сжатия ($l$) по известной работе

Работа $A$, совершенная при сжатии рессоры, численно равна потенциальной энергии упругой деформации, которая вычисляется по формуле:

$A = \frac{kl^2}{2}$

Нам известна работа $A = 600$ Дж и коэффициент жесткости $k = 800000$ Н/м. Выразим из этой формулы искомое сжатие $l$:

$l^2 = \frac{2A}{k} \implies l = \sqrt{\frac{2A}{k}}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$l = \sqrt{\frac{2 \cdot 600 \text{ Дж}}{800000 \text{ Н/м}}} = \sqrt{\frac{1200}{800000}} \text{ м} = \sqrt{0.0015} \text{ м} \approx 0.0387 \text{ м}$

Для наглядности переведем полученный результат в сантиметры:

$l \approx 0.0387 \text{ м} \times 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} = 3.87 \text{ см}$

Ответ: сжатие рессоры $l$ равно примерно 3,87 см.

401. Скорость впитывания воды в почву в течение первых 2–3 часов определяется формулой $V(t)=V_1 t^{-\alpha}$, где $t$ — время в минутах, $V_1=1,8 \text{ см/мин}$ — скорость впитывания воды в конце первой минуты, $\alpha$ — коэффициент затухания скорости впитывания (для большинства почв $0,3 < \alpha < 0,8$). Найти толщину $h$ слоя воды, впитывающейся в почву за 2 часа, если $\alpha = 0,4$.

Скорость впитывания воды в почву $V(t)$ является производной от толщины слоя впитавшейся воды $h(t)$ по времени $t$. То есть, $V(t) = \frac{dh}{dt}$. Чтобы найти общую толщину слоя воды $h$, впитавшейся за определенный промежуток времени, необходимо проинтегрировать функцию скорости $V(t)$ по этому промежутку времени.

По условию задачи дана формула для скорости впитывания: $V(t) = V_1 t^{-\alpha}$

Нам нужно найти толщину слоя воды $h$, впитавшейся в почву за 2 часа. Исходные данные:

• Скорость впитывания в конце первой минуты: $V_1 = 1.8$ см/мин
• Коэффициент затухания: $\alpha = 0.4$
• Промежуток времени: 2 часа.

Поскольку в формуле время $t$ измеряется в минутах, необходимо перевести 2 часа в минуты: $T = 2 \text{ часа} = 2 \times 60 = 120 \text{ минут}$

Толщина слоя $h$ вычисляется как определенный интеграл от скорости $V(t)$ в пределах от $t=0$ до $t=120$ минут: $h = \int_{0}^{120} V(t) \,dt = \int_{0}^{120} V_1 t^{-\alpha} \,dt$

Подставим известные значения $V_1$ и $\alpha$: $h = \int_{0}^{120} 1.8 \cdot t^{-0.4} \,dt$

Вычислим интеграл, используя формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $h = 1.8 \left[ \frac{t^{-0.4+1}}{-0.4+1} \right]_{0}^{120} = 1.8 \left[ \frac{t^{0.6}}{0.6} \right]_{0}^{120}$

Упростим выражение: $h = \frac{1.8}{0.6} \left[ t^{0.6} \right]_{0}^{120} = 3 \left[ t^{0.6} \right]_{0}^{120}$

Теперь подставим пределы интегрирования: $h = 3 \cdot (120^{0.6} - 0^{0.6})$

Так как $0^{0.6} = 0$, получаем: $h = 3 \cdot 120^{0.6}$

Вычислим значение: $120^{0.6} = 120^{3/5} \approx 15.157$

$h \approx 3 \cdot 15.157 \approx 45.471$ см

Округлим результат до сотых.

Ответ: Толщина слоя воды, впитавшейся в почву за 2 часа, составляет приблизительно $45.47$ см.

402. Какую работу нужно совершить, чтобы поднять тело массой $m$ с поверхности Земли (её радиус $R$) на высоту $h$?

Работа, которую необходимо совершить, чтобы поднять тело без сообщения ему кинетической энергии, равна изменению его потенциальной энергии в гравитационном поле Земли.

Работа $A$ равна разности потенциальных энергий тела на конечной высоте $h$ и на поверхности Земли:$A = E_{p2} - E_{p1}$

Потенциальная энергия $E_p$ тела массы $m$ в гравитационном поле Земли (масса $M$, радиус $R$) на расстоянии $r$ от её центра определяется формулой:$E_p(r) = -G \frac{Mm}{r}$где $G$ — гравитационная постоянная.

Начальное состояние тела — на поверхности Земли. Расстояние от центра Земли равно её радиусу $R$. Начальная потенциальная энергия:$E_{p1} = -G \frac{Mm}{R}$

Конечное состояние тела — на высоте $h$ от поверхности. Расстояние от центра Земли равно $R+h$. Конечная потенциальная энергия:$E_{p2} = -G \frac{Mm}{R+h}$

Теперь найдем работу как разность этих энергий:$A = E_{p2} - E_{p1} = \left(-G \frac{Mm}{R+h}\right) - \left(-G \frac{Mm}{R}\right) = G \frac{Mm}{R} - G \frac{Mm}{R+h}$

Вынесем общий множитель $GMm$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю:$A = GMm \left(\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}\right) = GMm \left(\frac{(R+h) - R}{R(R+h)}\right) = GMm \frac{h}{R(R+h)}$

Эту формулу можно выразить через ускорение свободного падения на поверхности Земли $g$. По определению, сила тяжести на поверхности $mg = G \frac{Mm}{R^2}$, откуда получаем $GM = gR^2$.

Подставим это выражение в формулу для работы:$A = (gR^2)m \frac{h}{R(R+h)} = \frac{mgR^2h}{R(R+h)} = \frac{mgRh}{R+h}$

Заметим, что если высота подъема $h$ много меньше радиуса Земли ($h \ll R$), то знаменатель $R+h \approx R$, и формула упрощается до хорошо известной $A \approx \frac{mgRh}{R} = mgh$. Однако в общем случае необходимо использовать полную формулу.

Ответ: $A = \frac{mgRh}{R+h}$