Страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

384. Тело движется прямолинейно со скоростью $v(t)$ (м/с). Вычислить путь, пройденный телом за промежуток времени от $t=t_1$ до $t=t_2$, если:

1) $v(t)=3t^2+1, t_1=0, t_2=4$;

2) $v(t)=2t^2+t, t_1=1, t_2=3$;

3) $v(t)=6t^2+4, t_1=2, t_2=3$;

4) $v(t)=t^2-t+3, t_1=0, t_2=5$;

Для вычисления пути, пройденного телом, движущимся прямолинейно, необходимо найти определенный интеграл от модуля скорости $v(t)$ по времени $t$ на заданном промежутке от $t_1$ до $t_2$. Формула для вычисления пути $s$ выглядит так:

$s = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$

Поскольку во всех представленных задачах функции скорости $v(t)$ неотрицательны на заданных промежутках времени, модуль можно опустить и формула упрощается до:

$s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

1) $v(t) = 3t^2 + 1$, $t_1 = 0$, $t_2 = 4$;

Вычислим определенный интеграл:

$s = \int_{0}^{4} (3t^2 + 1) dt$

Сначала найдем первообразную для функции $v(t) = 3t^2 + 1$:

$S(t) = \int (3t^2 + 1) dt = 3 \cdot \frac{t^3}{3} + t = t^3 + t$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$s = S(4) - S(0) = (4^3 + 4) - (0^3 + 0) = (64 + 4) - 0 = 68$ (м).

Ответ: 68 м.

2) $v(t) = 2t^2 + t$, $t_1 = 1$, $t_2 = 3$;

Вычислим определенный интеграл:

$s = \int_{1}^{3} (2t^2 + t) dt$

Найдем первообразную для функции $v(t) = 2t^2 + t$:

$S(t) = \int (2t^2 + t) dt = 2 \cdot \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} = \frac{2t^3}{3} + \frac{t^2}{2}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$s = S(3) - S(1) = \left(\frac{2 \cdot 3^3}{3} + \frac{3^2}{2}\right) - \left(\frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2}\right) = \left(\frac{2 \cdot 27}{3} + \frac{9}{2}\right) - \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{2}\right) = \left(18 + \frac{9}{2}\right) - \left(\frac{4+3}{6}\right) = \frac{36+9}{2} - \frac{7}{6} = \frac{45}{2} - \frac{7}{6} = \frac{135 - 7}{6} = \frac{128}{6} = \frac{64}{3}$ (м).

Ответ: $\frac{64}{3}$ м.

3) $v(t) = 6t^2 + 4$, $t_1 = 2$, $t_2 = 3$;

Вычислим определенный интеграл:

$s = \int_{2}^{3} (6t^2 + 4) dt$

Найдем первообразную для функции $v(t) = 6t^2 + 4$:

$S(t) = \int (6t^2 + 4) dt = 6 \cdot \frac{t^3}{3} + 4t = 2t^3 + 4t$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$s = S(3) - S(2) = (2 \cdot 3^3 + 4 \cdot 3) - (2 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2) = (2 \cdot 27 + 12) - (2 \cdot 8 + 8) = (54 + 12) - (16 + 8) = 66 - 24 = 42$ (м).

Ответ: 42 м.

4) $v(t) = t^2 - t + 3$, $t_1 = 0$, $t_2 = 5$;

Проверим знак функции скорости на заданном промежутке. Дискриминант квадратного трехчлена $t^2 - t + 3$ равен $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $t^2$ положителен ($1 > 0$), то $v(t) > 0$ при всех значениях $t$. Следовательно, путь равен интегралу от функции скорости.

$s = \int_{0}^{5} (t^2 - t + 3) dt$

Найдем первообразную для функции $v(t) = t^2 - t + 3$:

$S(t) = \int (t^2 - t + 3) dt = \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + 3t$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$s = S(5) - S(0) = \left(\frac{5^3}{3} - \frac{5^2}{2} + 3 \cdot 5\right) - 0 = \frac{125}{3} - \frac{25}{2} + 15 = \frac{125 \cdot 2 - 25 \cdot 3 + 15 \cdot 6}{6} = \frac{250 - 75 + 90}{6} = \frac{175 + 90}{6} = \frac{265}{6}$ (м).

Ответ: $\frac{265}{6}$ м.

385. Скорость прямолинейно движущегося тела $v(t) = 4t - t^2$. Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

Чтобы найти путь, пройденный телом, необходимо вычислить определенный интеграл от модуля скорости по времени от начального момента до конечного. Путь $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$.

Сначала определим временной интервал движения. Начало движения соответствует моменту времени $t_1 = 0$. Остановка тела происходит, когда его скорость становится равной нулю. Найдем этот момент времени $t_2$, решив уравнение $v(t) = 0$.

$v(t) = 4t - t^2 = 0$

$t(4 - t) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t = 0$ и $t = 4$. Момент $t = 0$ — это начало движения, а момент $t = 4$ — это момент остановки. Таким образом, движение происходит в промежутке времени от $t_1 = 0$ до $t_2 = 4$.

Теперь нужно определить, меняет ли тело направление движения на интервале от 0 до 4. Для этого проверим знак функции скорости $v(t) = 4t - t^2$ на этом интервале. Например, возьмем любую точку из интервала, скажем $t = 2$:

$v(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$

Поскольку скорость положительна ($v(2) > 0$), и функция $v(t)$ является непрерывной параболой, которая обращается в ноль только на границах интервала $[0, 4]$, то на всем интервале $(0, 4)$ скорость положительна. Это означает, что тело движется в одном направлении, и пройденный путь равен перемещению. Следовательно, $|v(t)| = v(t)$ на промежутке $[0, 4]$.

Теперь мы можем вычислить путь как определенный интеграл от функции скорости:

$S = \int_{0}^{4} (4t - t^2) dt$

Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ 2t^2 - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{4} = \left( 2 \cdot 4^2 - \frac{4^3}{3} \right) - \left( 2 \cdot 0^2 - \frac{0^3}{3} \right)$

$S = \left( 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} \right) - 0 = 32 - \frac{64}{3}$

$S = \frac{32 \cdot 3}{3} - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$