Номер 385, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение интегралов для решения физических задач. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 385, страница 160.
№385 (с. 160)
Условие. №385 (с. 160)
скриншот условия

385. Скорость прямолинейно движущегося тела $v(t) = 4t - t^2$. Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.
Решение 1. №385 (с. 160)

Решение 2. №385 (с. 160)

Решение 3. №385 (с. 160)
Чтобы найти путь, пройденный телом, необходимо вычислить определенный интеграл от модуля скорости по времени от начального момента до конечного. Путь $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$.
Сначала определим временной интервал движения. Начало движения соответствует моменту времени $t_1 = 0$. Остановка тела происходит, когда его скорость становится равной нулю. Найдем этот момент времени $t_2$, решив уравнение $v(t) = 0$.
$v(t) = 4t - t^2 = 0$
$t(4 - t) = 0$
Это уравнение имеет два решения: $t = 0$ и $t = 4$. Момент $t = 0$ — это начало движения, а момент $t = 4$ — это момент остановки. Таким образом, движение происходит в промежутке времени от $t_1 = 0$ до $t_2 = 4$.
Теперь нужно определить, меняет ли тело направление движения на интервале от 0 до 4. Для этого проверим знак функции скорости $v(t) = 4t - t^2$ на этом интервале. Например, возьмем любую точку из интервала, скажем $t = 2$:
$v(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$
Поскольку скорость положительна ($v(2) > 0$), и функция $v(t)$ является непрерывной параболой, которая обращается в ноль только на границах интервала $[0, 4]$, то на всем интервале $(0, 4)$ скорость положительна. Это означает, что тело движется в одном направлении, и пройденный путь равен перемещению. Следовательно, $|v(t)| = v(t)$ на промежутке $[0, 4]$.
Теперь мы можем вычислить путь как определенный интеграл от функции скорости:
$S = \int_{0}^{4} (4t - t^2) dt$
Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left[ 2t^2 - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{4} = \left( 2 \cdot 4^2 - \frac{4^3}{3} \right) - \left( 2 \cdot 0^2 - \frac{0^3}{3} \right)$
$S = \left( 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} \right) - 0 = 32 - \frac{64}{3}$
$S = \frac{32 \cdot 3}{3} - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$
Ответ: $\frac{32}{3}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 385 расположенного на странице 160 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №385 (с. 160), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.