Номер 385, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 5. Применение интегралов для решения физических задач - номер 385, страница 160.

Условие.

385. Скорость прямолинейно движущегося тела $v(t) = 4t - t^2$. Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти путь, пройденный телом, необходимо вычислить определенный интеграл от модуля скорости по времени от начального момента до конечного. Путь $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$.

Сначала определим временной интервал движения. Начало движения соответствует моменту времени $t_1 = 0$. Остановка тела происходит, когда его скорость становится равной нулю. Найдем этот момент времени $t_2$, решив уравнение $v(t) = 0$.

$v(t) = 4t - t^2 = 0$

$t(4 - t) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t = 0$ и $t = 4$. Момент $t = 0$ — это начало движения, а момент $t = 4$ — это момент остановки. Таким образом, движение происходит в промежутке времени от $t_1 = 0$ до $t_2 = 4$.

Теперь нужно определить, меняет ли тело направление движения на интервале от 0 до 4. Для этого проверим знак функции скорости $v(t) = 4t - t^2$ на этом интервале. Например, возьмем любую точку из интервала, скажем $t = 2$:

$v(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$

Поскольку скорость положительна ($v(2) > 0$), и функция $v(t)$ является непрерывной параболой, которая обращается в ноль только на границах интервала $[0, 4]$, то на всем интервале $(0, 4)$ скорость положительна. Это означает, что тело движется в одном направлении, и пройденный путь равен перемещению. Следовательно, $|v(t)| = v(t)$ на промежутке $[0, 4]$.

Теперь мы можем вычислить путь как определенный интеграл от функции скорости:

$S = \int_{0}^{4} (4t - t^2) dt$

Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ 2t^2 - \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{4} = \left( 2 \cdot 4^2 - \frac{4^3}{3} \right) - \left( 2 \cdot 0^2 - \frac{0^3}{3} \right)$

$S = \left( 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} \right) - 0 = 32 - \frac{64}{3}$

$S = \frac{32 \cdot 3}{3} - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$