Номер 381, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 4. Вычисление площадей фигур с помощью интегралов - номер 381, страница 158.

Условие.

381. Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y = 6x - x^2$ и прямой $y = x + 4$;

2) параболой $y = 4 - x^2$ и прямой $y = x + 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) параболой $y = 6x - x^2$ и прямой $y = x + 4$

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения:

$6x - x^2 = x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Используя разложение на множители $(x-1)(x-4)=0$ или теорему Виета, получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Это будут пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций больше на интервале $(1, 4)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например $x = 2$.

Для параболы: $y_1 = 6(2) - 2^2 = 12 - 4 = 8$.

Для прямой: $y_2 = 2 + 4 = 6$.

Так как $y_1 > y_2$ на интервале $(1, 4)$, парабола $y = 6x - x^2$ лежит выше прямой $y = x + 4$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $x_1$ до $x_2$:

$S = \int_{1}^{4} ((6x - x^2) - (x + 4)) \,dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = \int_{1}^{4} (6x - x^2 - x - 4) \,dx = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) \,dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right) \right|_{1}^{4}$

$S = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - \frac{8}{2} \right)$

$S = \left( 24 - \frac{64}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} \right)$

$S = \left( \frac{72 - 64}{3} \right) - \left( \frac{-2 - 9}{6} \right) = \frac{8}{3} - \left( -\frac{11}{6} \right)$

$S = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5$

Ответ: 4,5.

2) параболой $y = 4 - x^2$ и прямой $y = x + 2$

Найдем точки пересечения параболы и прямой, приравняв их уравнения:

$4 - x^2 = x + 2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Используя разложение на множители $(x+2)(x-1)=0$ или теорему Виета, находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Эти значения являются пределами интегрирования.

Определим, какая из функций принимает большие значения на интервале $(-2, 1)$. Выберем пробную точку, например $x = 0$:

Для параболы: $y_1 = 4 - 0^2 = 4$.

Для прямой: $y_2 = 0 + 2 = 2$.

Поскольку $y_1 > y_2$, на данном интервале парабола $y = 4 - x^2$ находится над прямой $y = x + 2$.

Площадь искомой фигуры $S$ равна интегралу от разности функции параболы и функции прямой в найденных пределах:

$S = \int_{-2}^{1} ((4 - x^2) - (x + 2)) \,dx$

Упростим выражение под знаком интеграла:

$S = \int_{-2}^{1} (4 - x^2 - x - 2) \,dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \,dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-2}^{1}$

$S = \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) \right)$

$S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \right)$

$S = \left( -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right)$

$S = \frac{7}{6} - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) = \frac{7}{6} - \left( \frac{8 - 18}{3} \right)$

$S = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3}$

$S = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5$

Ответ: 4,5.