Номер 381, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Вычисление площадей фигур с помощью интегралов. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 381, страница 158.
№381 (с. 158)
Условие. №381 (с. 158)
скриншот условия

381. Найти площадь фигуры, ограниченной:
1) параболой $y = 6x - x^2$ и прямой $y = x + 4$;
2) параболой $y = 4 - x^2$ и прямой $y = x + 2$.
Решение 1. №381 (с. 158)


Решение 2. №381 (с. 158)

Решение 3. №381 (с. 158)
1) параболой $y = 6x - x^2$ и прямой $y = x + 4$
Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения:
$6x - x^2 = x + 4$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Найдем корни этого уравнения. Используя разложение на множители $(x-1)(x-4)=0$ или теорему Виета, получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Это будут пределы интегрирования.
Теперь определим, какая из функций больше на интервале $(1, 4)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например $x = 2$.
Для параболы: $y_1 = 6(2) - 2^2 = 12 - 4 = 8$.
Для прямой: $y_2 = 2 + 4 = 6$.
Так как $y_1 > y_2$ на интервале $(1, 4)$, парабола $y = 6x - x^2$ лежит выше прямой $y = x + 4$.
Площадь фигуры $S$ вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $x_1$ до $x_2$:
$S = \int_{1}^{4} ((6x - x^2) - (x + 4)) \,dx$
Упростим подынтегральное выражение:
$S = \int_{1}^{4} (6x - x^2 - x - 4) \,dx = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) \,dx$
Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right) \right|_{1}^{4}$
$S = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 \right)$
$S = \left( -\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right)$
$S = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - \frac{8}{2} \right)$
$S = \left( 24 - \frac{64}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} \right)$
$S = \left( \frac{72 - 64}{3} \right) - \left( \frac{-2 - 9}{6} \right) = \frac{8}{3} - \left( -\frac{11}{6} \right)$
$S = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5$
Ответ: 4,5.
2) параболой $y = 4 - x^2$ и прямой $y = x + 2$
Найдем точки пересечения параболы и прямой, приравняв их уравнения:
$4 - x^2 = x + 2$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Используя разложение на множители $(x+2)(x-1)=0$ или теорему Виета, находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Эти значения являются пределами интегрирования.
Определим, какая из функций принимает большие значения на интервале $(-2, 1)$. Выберем пробную точку, например $x = 0$:
Для параболы: $y_1 = 4 - 0^2 = 4$.
Для прямой: $y_2 = 0 + 2 = 2$.
Поскольку $y_1 > y_2$, на данном интервале парабола $y = 4 - x^2$ находится над прямой $y = x + 2$.
Площадь искомой фигуры $S$ равна интегралу от разности функции параболы и функции прямой в найденных пределах:
$S = \int_{-2}^{1} ((4 - x^2) - (x + 2)) \,dx$
Упростим выражение под знаком интеграла:
$S = \int_{-2}^{1} (4 - x^2 - x - 2) \,dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \,dx$
Вычислим определенный интеграл:
$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right) \right|_{-2}^{1}$
$S = \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) \right)$
$S = \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( -\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4 \right)$
$S = \left( -\frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right)$
$S = \frac{7}{6} - \left( \frac{8}{3} - 6 \right) = \frac{7}{6} - \left( \frac{8 - 18}{3} \right)$
$S = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3}$
$S = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4,5$
Ответ: 4,5.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 381 расположенного на странице 158 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №381 (с. 158), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.