Номер 382, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Параграф 4. Вычисление площадей фигур с помощью интегралов - номер 382, страница 158.

Условие.

382. Найти площадь фигуры, ограниченной:

1) параболой $y = (x + 2)^2$ и прямой $y = x + 2;

2) графиком функции $y = \sqrt{x}$ и параболой $y = x^2;

3) графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямой $y = x;

4) параболой $y = (x - 1)^2$ и прямой $y = 5 + x;

5) прямой $y = 1$, осью $Oy$ и графиком функции $y = \sin x,

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = (x + 2)^2$ и прямой $y = x + 2$, сначала найдем точки пересечения их графиков. Для этого приравняем выражения для $y$:

$(x + 2)^2 = x + 2$

$(x + 2)^2 - (x + 2) = 0$

$(x + 2)(x + 2 - 1) = 0$

$(x + 2)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем абсциссы точек пересечения: $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$.

На промежутке $[-2, -1]$ определим, какая функция больше. Возьмем пробную точку $x = -1.5$:

Для прямой: $y = -1.5 + 2 = 0.5$

Для параболы: $y = (-1.5 + 2)^2 = (0.5)^2 = 0.25$

Так как $0.5 > 0.25$, на промежутке $[-2, -1]$ график прямой $y = x + 2$ лежит выше графика параболы $y = (x + 2)^2$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $x_1$ до $x_2$:

$S = \int_{-2}^{-1} ((x + 2) - (x + 2)^2) dx = \int_{-2}^{-1} (x + 2 - (x^2 + 4x + 4)) dx$

$S = \int_{-2}^{-1} (x + 2 - x^2 - 4x - 4) dx = \int_{-2}^{-1} (-x^2 - 3x - 2) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - 2x \right) \right|_{-2}^{-1}$

$S = \left( -\frac{(-1)^3}{3} - \frac{3(-1)^2}{2} - 2(-1) \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{3(-2)^2}{2} - 2(-2) \right)$

$S = \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 + 4 \right) = \left( \frac{2 - 9 + 12}{6} \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 \right)$

$S = \frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5 - 4}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{x}$ и параболой $y = x^2$.

Найдем точки пересечения, приравняв функции:

$\sqrt{x} = x^2$

Возведем обе части в квадрат (учитывая, что $x \ge 0$):

$x = x^4$

$x^4 - x = 0$

$x(x^3 - 1) = 0$

Абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

На промежутке $[0, 1]$ выберем пробную точку $x = 0.25$:

Для $y = \sqrt{x}$: $y = \sqrt{0.25} = 0.5$

Для $y = x^2$: $y = (0.25)^2 = 0.0625$

Так как $0.5 > 0.0625$, график $y = \sqrt{x}$ лежит выше графика $y = x^2$ на данном промежутке.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) dx = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x^2) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left. \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{1} = \left. \left( \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{1}$

$S = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{2}{3}(0)^{3/2} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

3) Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямой $y = x$.

Найдем точки пересечения:

$\sqrt{x} = x$

Возведем в квадрат ($x \ge 0$):

$x = x^2$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

На промежутке $[0, 1]$ выберем пробную точку $x = 0.25$:

Для $y = \sqrt{x}$: $y = \sqrt{0.25} = 0.5$

Для $y = x$: $y = 0.25$

Так как $0.5 > 0.25$, график $y = \sqrt{x}$ лежит выше графика $y = x$ на данном промежутке.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left. \left( \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right) \right|_{0}^{1}$

$S = \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{1^2}{2} \right) - 0 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

4) Найдем площадь фигуры, ограниченной параболой $y = (x - 1)^2$ и прямой $y = 5 + x$.

Найдем точки пересечения:

$(x - 1)^2 = 5 + x$

$x^2 - 2x + 1 = 5 + x$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

На промежутке $[-1, 4]$ выберем пробную точку $x = 0$:

Для прямой: $y = 5 + 0 = 5$

Для параболы: $y = (0 - 1)^2 = 1$

Так как $5 > 1$, на промежутке $[-1, 4]$ график прямой $y = 5 + x$ лежит выше графика параболы $y = (x - 1)^2$.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{-1}^{4} ((5 + x) - (x - 1)^2) dx = \int_{-1}^{4} (5 + x - (x^2 - 2x + 1)) dx$

$S = \int_{-1}^{4} (-x^2 + 3x + 4) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \right) \right|_{-1}^{4}$

$S = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{3 \cdot 4^2}{2} + 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} + 4(-1) \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + 24 + 16 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + 40 \right) - \left( \frac{2 + 9 - 24}{6} \right) = \frac{-64 + 120}{3} - \frac{-13}{6} = \frac{56}{3} + \frac{13}{6}$

$S = \frac{112}{6} + \frac{13}{6} = \frac{125}{6}$

Ответ: $\frac{125}{6}$

5) Найдем площадь фигуры, ограниченной прямой $y=1$, осью Oy ($x=0$) и графиком функции $y = \sin x$ на отрезке $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$.

Фигура ограничена сверху прямой $y=1$, снизу графиком $y = \sin x$ и слева осью Oy, т.е. прямой $x=0$.

На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y=\sin x$ возрастает от $0$ до $1$. Таким образом, $1 \ge \sin x$ на этом отрезке. Правой границей интегрирования будет абсцисса точки пересечения графиков $y=1$ и $y=\sin x$, то есть $x = \frac{\pi}{2}$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $0$ до $\frac{\pi}{2}$:

$S = \int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin x) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left. (x - (-\cos x)) \right|_{0}^{\pi/2} = \left. (x + \cos x) \right|_{0}^{\pi/2}$

$S = \left( \frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{2} \right) - (0 + \cos 0)$

$S = \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1$

Ответ: $\frac{\pi}{2} - 1$