Страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

12. Что называют определённым интегралом от функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$?

Определённый интеграл от функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ — это фундаментальное понятие математического анализа, которое можно определить несколькими способами, наиболее известными из которых являются геометрический и через предел интегральных сумм.

Геометрический смысл

Для непрерывной и неотрицательной функции $f(x)$ (то есть $f(x) \ge 0$) на отрезке $[a; b]$, её определённый интеграл $\int_a^b f(x) dx$ численно равен площади криволинейной трапеции. Это фигура, ограниченная графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс (прямая $y=0$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

В общем случае, когда функция $f(x)$ может принимать и отрицательные значения, определённый интеграл представляет собой алгебраическую (знаковую) сумму площадей: площади фигур, расположенных над осью абсцисс, учитываются со знаком «+», а площади фигур под осью абсцисс — со знаком «–».

Формальное определение (интеграл Римана)

Строгое определение определённого интеграла даётся как предел интегральных сумм. Процесс построения выглядит следующим образом:

1. Отрезок интегрирования $[a; b]$ разбивается на $n$ элементарных (частичных) отрезков точками $a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b$. Длина $i$-го отрезка обозначается как $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$.
2. На каждом элементарном отрезке $[x_{i-1}; x_i]$ произвольно выбирается точка $c_i$.
3. Составляется интегральная сумма (сумма Римана) $S_n$, которая представляет собой сумму площадей прямоугольников с основаниями $\Delta x_i$ и высотами $f(c_i)$: $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i $$
4. Определённый интеграл является пределом этой суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков разбиения стремится к нулю ($\max \Delta x_i \to 0$, что равносильно устремлению числа отрезков $n$ к бесконечности).

Таким образом, определённым интегралом от функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ называется число: $$ \int_a^b f(x) dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i $$ если этот предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка $[a; b]$ и от выбора точек $c_i$. Если такой предел существует, функция $f(x)$ называется интегрируемой по Риману на отрезке $[a; b]$. Все непрерывные на отрезке функции являются интегрируемыми.

Вычисление через формулу Ньютона-Лейбница

На практике для вычисления определённых интегралов редко используется определение через предел. Вместо этого применяется основная теорема анализа — формула Ньютона-Лейбница, которая связывает вычисление определённого интеграла с нахождением первообразной.

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$, а функция $F(x)$ является её первообразной на этом отрезке (то есть $F'(x) = f(x)$), то определённый интеграл вычисляется по формуле: $$ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $$ Эту разность также обозначают как $F(x) \Big|_a^b$.

Ответ: Определённым интегралом функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ называют предел её интегральных сумм $\sum f(c_i) \Delta x_i$, когда длина наибольшего элементарного отрезка разбиения стремится к нулю. Геометрически для неотрицательной функции он равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$. Вычисляется он, как правило, по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — любая первообразная для функции $f(x)$.

13. Какое уравнение называют уравнением гармонического колебания? Как записывается его решение?

Какое уравнение называют уравнением гармонического колебания?
Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых физическая величина (например, смещение, сила тока, напряжение) изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Такие колебания описываются линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.
Это уравнение является математической моделью для физических систем, в которых возникает возвращающая сила, пропорциональная смещению тела $x$ от положения равновесия и направленная в противоположную сторону. Классическим примером является сила упругости пружины, описываемая законом Гука: $F_{упр} = -kx$.
Согласно второму закону Ньютона, $F = ma$. Поскольку ускорение $a$ является второй производной от смещения $x$ по времени $t$ ($a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2}$), мы можем записать:
$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$.
Перенеся все члены в левую часть, получим:
$m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$.
Разделив это уравнение на массу $m$ и введя обозначение для собственной циклической (угловой) частоты колебаний $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$, мы приходим к каноническому виду уравнения гармонического колебания:
$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0$.
Это уравнение описывает свободные (незатухающие) гармонические колебания.

Ответ: Уравнением гармонического колебания называют линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка вида $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0$, где $x$ — колеблющаяся величина, а $\omega_0$ — циклическая частота колебаний.

Как записывается его решение?
Решением уравнения гармонического колебания является функция $x(t)$, которая описывает зависимость колеблющейся величины от времени. Поскольку вторая производная этой функции пропорциональна самой функции со знаком минус, решением является гармоническая (синусоидальная) функция.
Наиболее распространенная форма записи решения имеет вид:
$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi)$
В этой формуле:
• $x(t)$ — значение колеблющейся величины в момент времени $t$;
• $A$ — амплитуда, максимальное значение отклонения от положения равновесия ($A \ge 0$);
• $\omega_0$ — циклическая (угловая) частота, определяющая период колебаний $T$ ($T = 2\pi / \omega_0$);
• $\phi$ — начальная фаза, определяющая состояние системы (значение $x$ и его производной) в начальный момент времени $t=0$;
• $(\omega_0 t + \phi)$ — полная фаза колебаний в момент времени $t$.
Две постоянные, амплитуда $A$ и начальная фаза $\phi$, полностью определяют конкретное движение и находятся из начальных условий (например, из начального положения $x(0)$ и начальной скорости $\dot{x}(0)$).
Эквивалентной формой записи решения является выражение через синус:
$x(t) = A \sin(\omega_0 t + \phi_1)$
или через линейную комбинацию синуса и косинуса:
$x(t) = C_1 \cos(\omega_0 t) + C_2 \sin(\omega_0 t)$,где константы $C_1$ и $C_2$ также определяются начальными условиями.

Ответ: Решение уравнения гармонического колебания записывается в виде $x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi)$, где $A$ — амплитуда, $\omega_0$ — циклическая частота, и $\phi$ — начальная фаза колебаний.

1. Показать, что $F(x) = e^{2x} + x^3 - \cos x$ является первообразной для функции $f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$ на всей числовой прямой.

1. Чтобы доказать, что функция $F(x) = e^{2x} + x^3 - \cos x$ является первообразной для функции $f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$ на всей числовой прямой, необходимо найти производную функции $F(x)$ и проверить, выполняется ли равенство $F'(x) = f(x)$.

По определению, $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, если производная от $F(x)$ равна $f(x)$.

Найдём производную функции $F(x)$, используя правила дифференцирования. Производная суммы/разности функций равна сумме/разности их производных:

$F'(x) = (e^{2x} + x^3 - \cos x)' = (e^{2x})' + (x^3)' - (\cos x)'$

Вычислим производную каждого слагаемого в отдельности:

• Производная сложной функции $e^{2x}$ находится по формуле $(e^{u})' = e^u \cdot u'$. В нашем случае $u=2x$, поэтому:
  $(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$
• Производная степенной функции $x^3$ находится по формуле $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:
  $(x^3)' = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$
• Производная тригонометрической функции $\cos x$ равна:
  $(\cos x)' = -\sin x$

Теперь подставим найденные производные обратно в выражение для $F'(x)$:

$F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 - (-\sin x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$

Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$

$f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения (вся числовая прямая, $x \in \mathbb{R}$), то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: Поскольку производная функции $F(x)$ равна $F'(x) = (e^{2x} + x^3 - \cos x)' = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$, что в точности совпадает с функцией $f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на всей числовой прямой, что и требовалось доказать.

2. Для функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 3$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M(1; -2)$.

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 3$ сначала найдем ее общий вид, который представляет собой неопределенный интеграл от данной функции. Обозначим первообразную как $F(x)$.

$F(x) = \int f(x)dx = \int(3x^2 + 2x - 3)dx$

Применяя правила интегрирования, в частности формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, найдем интеграл для каждого слагаемого:
$F(x) = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3 \cdot \frac{x^{0+1}}{0+1} + C$
$F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C$
$F(x) = x^3 + x^2 - 3x + C$

Это общий вид всех первообразных для функции $f(x)$. Здесь $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

Согласно условию, график искомой первообразной проходит через точку $M(1; -2)$. Это означает, что при $x = 1$, значение первообразной $F(1)$ должно быть равно $-2$. Мы можем использовать это условие, чтобы найти конкретное значение константы $C$.

Подставим координаты точки $M$ в выражение для $F(x)$:
$F(1) = -2$
$(1)^3 + (1)^2 - 3(1) + C = -2$
$1 + 1 - 3 + C = -2$
$-1 + C = -2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $C$:
$C = -2 + 1$
$C = -1$

Найдя значение константы, подставим его обратно в общую формулу первообразной, чтобы получить искомую функцию:
$F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$

Ответ: $F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$

3. Вычислить:

1) $\int_{1}^{2} 2x^2 dx;$

2) $\int_{2}^{3} \frac{dx}{x^3};$

3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx;$

4) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_1^2 2x^2 dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = 2x^2$.
$F(x) = \int 2x^2 dx = 2 \int x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{2x^3}{3}$.
Теперь вычислим значение интеграла:
$\int_1^2 2x^2 dx = \left. \frac{2x^3}{3} \right|_1^2 = \frac{2 \cdot 2^3}{3} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3} = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$.
Ответ: $\frac{14}{3}$.

2) Вычислим интеграл $\int_2^3 \frac{dx}{x^3}$.
Сначала найдем первообразную для $f(x) = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$.
$F(x) = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_2^3 \frac{dx}{x^3} = \left. -\frac{1}{2x^2} \right|_2^3 = \left(-\frac{1}{2 \cdot 3^2}\right) - \left(-\frac{1}{2 \cdot 2^2}\right) = -\frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{18} + \frac{1}{8}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 72:
$-\frac{1 \cdot 4}{18 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 9}{8 \cdot 9} = -\frac{4}{72} + \frac{9}{72} = \frac{5}{72}$.
Ответ: $\frac{5}{72}$.

3) Вычислим интеграл $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx$.
Первообразная для функции $f(x) = \cos 2x$ равна $F(x) = \frac{1}{2} \sin 2x$.
Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx = \left. \frac{1}{2} \sin 2x \right|_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 0) = \frac{1}{2} \sin(\pi) - \frac{1}{2} \sin(0) = \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0.

4) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x dx$.
Первообразная для функции $f(x) = \sin x$ равна $F(x) = -\cos x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x dx = \left. -\cos x \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(\frac{\pi}{2})) = -(-1) - (-0) = 1 - 0 = 1$.
Ответ: 1.

4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + x - 6$ и осью $Ox$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + x - 6$ и осью $Ox$, необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура представляет собой область, заключенную между графиком параболы и осью абсцисс.

1. Найдем пределы интегрирования.

Пределы интегрирования — это абсциссы точек пересечения параболы $y = x^2 + x - 6$ с осью $Ox$ (уравнение которой $y = 0$). Для нахождения этих точек решим уравнение:

$x^2 + x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -1$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Следовательно, парабола пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $x = -3$ и $x = 2$. Эти значения и будут пределами интегрирования.

2. Составим интеграл для вычисления площади.

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ и осью $Ox$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} |f(x)| \,dx$.

Ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Это означает, что на интервале между корнями $(-3, 2)$ значения функции отрицательны, то есть график лежит ниже оси $Ox$.

Поэтому площадь можно вычислить как интеграл от функции, взятой с противоположным знаком, либо как модуль интеграла от исходной функции. Воспользуемся вторым способом, так как он проще и универсальнее.

$S = \left| \int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) \,dx \right|$

3. Вычислим площадь.

Найдем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразная для функции $f(x) = x^2 + x - 6$ равна:

$F(x) = \int (x^2 + x - 6) \,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x$

Теперь вычислим интеграл, подставив пределы интегрирования:

$\int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) \,dx = \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x \right) \Big|_{-3}^{2} = F(2) - F(-3)$

Вычислим значения первообразной на концах отрезка:

При $x = 2$:

$F(2) = \frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} - 6 \cdot 2 = \frac{8}{3} + \frac{4}{2} - 12 = \frac{8}{3} + 2 - 12 = \frac{8}{3} - 10 = \frac{8 - 30}{3} = -\frac{22}{3}$

При $x = -3$:

$F(-3) = \frac{(-3)^3}{3} + \frac{(-3)^2}{2} - 6 \cdot (-3) = \frac{-27}{3} + \frac{9}{2} + 18 = -9 + \frac{9}{2} + 18 = 9 + \frac{9}{2} = \frac{18 + 9}{2} = \frac{27}{2}$

Найдем разность:

$F(2) - F(-3) = -\frac{22}{3} - \frac{27}{2} = -\frac{22 \cdot 2}{6} - \frac{27 \cdot 3}{6} = -\frac{44}{6} - \frac{81}{6} = -\frac{125}{6}$

Площадь равна модулю этого значения:

$S = \left| -\frac{125}{6} \right| = \frac{125}{6}$

Ответ: $\frac{125}{6}$

1. Для функции $f(x) = e^x - 3\sin x$ найти первообразную, график которой проходит через точку $A(0; 2)$.

Задача состоит в нахождении первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = e^x - 3\sin x$, график которой проходит через заданную точку $A(0; 2)$.

1. Нахождение общего вида первообразной.

Первообразная находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (e^x - 3\sin x) dx$

Используя свойство линейности интеграла, можем разбить его на сумму интегралов:

$F(x) = \int e^x dx - \int 3\sin x dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности, используя таблицу основных интегралов:

$\int e^x dx = e^x$

$\int 3\sin x dx = 3 \int \sin x dx = 3(-\cos x) = -3\cos x$

Собрав все вместе, получаем общий вид первообразной, не забывая про константу интегрирования $C$:

$F(x) = e^x - (-3\cos x) + C = e^x + 3\cos x + C$

2. Нахождение константы $C$.

По условию, график первообразной проходит через точку $A(0; 2)$. Это означает, что при $x=0$ значение функции $F(x)$ равно $2$, то есть $F(0) = 2$.

Подставим эти значения в найденное уравнение для $F(x)$:

$F(0) = e^0 + 3\cos(0) + C = 2$

Зная, что $e^0 = 1$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$1 + 3 \cdot 1 + C = 2$

$4 + C = 2$

$C = 2 - 4 = -2$

3. Запись итоговой первообразной.

Теперь подставим найденное значение $C = -2$ в общее выражение для первообразной:

$F(x) = e^x + 3\cos x - 2$

Ответ: $F(x) = e^x + 3\cos x - 2$

2. Вычислить:

1) $\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx;$

2) $\int_{0}^{1} \frac{2}{3x+1} dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \sqrt{x}$. Для этого представим корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.

Используем табличную формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В нашем случае $n = 1/2$, поэтому первообразная $F(x)$ будет:

$F(x) = \int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Теперь подставим пределы интегрирования в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx = \left. \frac{2}{3}x^{3/2} \right|_{1}^{4} = F(4) - F(1) = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - \frac{2}{3}(1)^{3/2}$.

Вычислим значения:

$4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.

$1^{3/2} = 1$.

Подставим эти значения обратно:

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$.

Ответ: $\frac{14}{3}$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{1} \frac{2}{3x+1} dx$ вынесем константу за знак интеграла и воспользуемся методом замены переменной.

$\int_{0}^{1} \frac{2}{3x+1} dx = 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{3x+1} dx$.

Пусть $t = 3x+1$. Тогда найдем дифференциал $dt$: $dt = (3x+1)' dx = 3dx$. Отсюда $dx = \frac{dt}{3}$.

Найдем новые пределы интегрирования для переменной $t$:

Если $x=0$, то $t = 3 \cdot 0 + 1 = 1$.

Если $x=1$, то $t = 3 \cdot 1 + 1 = 4$.

Теперь подставим новую переменную и новые пределы в интеграл:

$2 \int_{1}^{4} \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{2}{3} \int_{1}^{4} \frac{1}{t} dt$.

Интеграл от $\frac{1}{t}$ является табличным: $\int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{2}{3} \left. \ln|t| \right|_{1}^{4} = \frac{2}{3}(\ln|4| - \ln|1|)$.

Так как $\ln(1)=0$, а $4>0$, получаем:

$\frac{2}{3}(\ln(4) - 0) = \frac{2}{3}\ln(4)$.

Это выражение можно также преобразовать, используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \ln(a)$:

$\frac{2}{3}\ln(4) = \frac{2}{3}\ln(2^2) = \frac{2}{3} \cdot 2\ln(2) = \frac{4}{3}\ln(2)$. Оба варианта ответа являются верными.

Ответ: $\frac{2}{3}\ln(4)$.

3. Изобразить фигуру, площадь которой равна $\int_{1}^{2}(2x - x^2)dx$, и вычислить эту площадь.

Изображение фигуры

Заданный интеграл $ \int_{1}^{2} (2x - x^2) dx $ геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции. Эта фигура ограничена следующими линиями:

• сверху — графиком функции $ y = 2x - x^2 $;
• снизу — осью абсцисс $ y = 0 $;
• слева — вертикальной прямой $ x = 1 $;
• справа — вертикальной прямой $ x = 2 $.

Для того чтобы изобразить эту фигуру, необходимо построить график функции $ y = 2x - x^2 $. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Определим ключевые характеристики параболы:

1. Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), следовательно, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина параболы: Координата x вершины находится по формуле $ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1 $. Соответствующая координата y: $ y_в = 2(1) - (1)^2 = 1 $. Вершина находится в точке $(1, 1)$.
3. Точки пересечения с осью Ox: Найдем корни уравнения $ 2x - x^2 = 0 $, или $ x(2-x) = 0 $. Корнями являются $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 2 $. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

На отрезке интегрирования $[1, 2]$ функция $ y = 2x - x^2 $ принимает неотрицательные значения. Таким образом, искомая фигура — это область, ограниченная сверху дугой параболы от её вершины $(1, 1)$ до точки пересечения с осью абсцисс $(2, 0)$, снизу — отрезком оси Ox от $x=1$ до $x=2$, и слева — вертикальной прямой $x=1$.

Ответ: Фигура является криволинейной трапецией, ограниченной параболой $ y = 2x - x^2 $, осью Ox и прямыми $ x=1 $ и $ x=2 $.

Вычисление площади

Площадь $S$ данной фигуры вычисляется как значение определенного интеграла с использованием формулы Ньютона-Лейбница:

$ S = \int_{1}^{2} (2x - x^2) dx $

Сначала найдем первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции $ f(x) = 2x - x^2 $:

$ F(x) = \int (2x - x^2) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = x^2 - \frac{x^3}{3} $

Теперь вычислим значение интеграла, подставив пределы интегрирования в первообразную:

$ S = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = F(2) - F(1) $

$ S = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 1^2 - \frac{1^3}{3} \right) = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( 1 - \frac{1}{3} \right) $

$ S = \left( \frac{12 - 8}{3} \right) - \left( \frac{3 - 1}{3} \right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $.

4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=2+4x-x^2$ и $y=x^2-2x+2$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 2 + 4x - x^2$ и $y = x^2 - 2x + 2$, необходимо сначала найти абсциссы точек пересечения графиков этих функций. Для этого приравняем правые части уравнений:

$2 + 4x - x^2 = x^2 - 2x + 2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2 + 4x - x^2 - x^2 + 2x - 2 = 0$

$-2x^2 + 6x = 0$

Вынесем общий множитель $-2x$ за скобки:

$-2x(x - 3) = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Эти значения являются пределами интегрирования.

Далее определим, какая из функций принимает большие значения на интервале $(0, 3)$. Для этого выберем любую точку из этого интервала, например, $x = 1$, и вычислим значения $y$ для каждой функции:

Для $y_1 = 2 + 4x - x^2$ при $x=1$: $y_1 = 2 + 4(1) - 1^2 = 5$.

Для $y_2 = x^2 - 2x + 2$ при $x=1$: $y_2 = 1^2 - 2(1) + 2 = 1$.

Поскольку $y_1 > y_2$ на интервале $(0, 3)$, график функции $y = 2 + 4x - x^2$ находится выше графика функции $y = x^2 - 2x + 2$.

Площадь $S$ фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в найденных пределах интегрирования:

$S = \int_{0}^{3} \left( (2 + 4x - x^2) - (x^2 - 2x + 2) \right) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = \int_{0}^{3} (2 + 4x - x^2 - x^2 + 2x - 2) dx = \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) dx$

Теперь найдем первообразную и применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( 6 \cdot \frac{x^2}{2} - 2 \cdot \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{3} = \left. \left( 3x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right) \right|_{0}^{3}$

$S = \left( 3(3)^2 - \frac{2}{3}(3)^3 \right) - \left( 3(0)^2 - \frac{2}{3}(0)^3 \right)$

$S = \left( 3 \cdot 9 - \frac{2}{3} \cdot 27 \right) - 0$

$S = 27 - 2 \cdot 9 = 27 - 18 = 9$

Ответ: $9$

5. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + 1$ и касательными к ней, проведёнными из точки (0; -3).

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги: найти уравнения касательных к параболе, проведенных из указанной точки, определить точки касания и затем вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и этими касательными, с помощью определенного интеграла.

1. Нахождение уравнений касательных

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае функция $f(x) = x^2 + 1$. Ее производная $f'(x) = 2x$.

Пусть $(x_0, y_0)$ — точка касания. Координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы: $y_0 = x_0^2 + 1$. Угловой коэффициент касательной в этой точке равен $k = f'(x_0) = 2x_0$.

Подставим известные данные в общее уравнение касательной:

$y = (x_0^2 + 1) + 2x_0(x - x_0)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = x_0^2 + 1 + 2x_0x - 2x_0^2$

$y = 2x_0x - x_0^2 + 1$

По условию задачи, касательные проходят через точку с координатами $(0; -3)$. Подставим эти значения ($x=0, y=-3$) в полученное уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:

$-3 = 2x_0(0) - x_0^2 + 1$

$-3 = -x_0^2 + 1$

$x_0^2 = 4$

Отсюда получаем два значения для абсцисс точек касания: $x_0 = 2$ и $x_0 = -2$.

Теперь найдем уравнения для каждой касательной:

• Для $x_0 = 2$:
  $y = 2(2)x - (2)^2 + 1 = 4x - 4 + 1 = 4x - 3$.
  Точка касания имеет координаты $(2, 2^2 + 1) = (2, 5)$.
• Для $x_0 = -2$:
  $y = 2(-2)x - (-2)^2 + 1 = -4x - 4 + 1 = -4x - 3$.
  Точка касания имеет координаты $(-2, (-2)^2 + 1) = (-2, 5)$.

2. Вычисление площади фигуры

Искомая фигура ограничена сверху параболой $y = x^2 + 1$ и снизу двумя касательными: $y = -4x - 3$ (на отрезке $[-2, 0]$) и $y = 4x - 3$ (на отрезке $[0, 2]$). Точки касания $(-2, 5)$ и $(2, 5)$ определяют пределы интегрирования по оси $x$.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности функции, ограничивающей фигуру сверху, и функции, ограничивающей ее снизу.

Заметим, что парабола $y = x^2 + 1$ симметрична относительно оси $Oy$, и точки касания также симметричны. Это означает, что искомая фигура симметрична. Поэтому мы можем вычислить площадь половины фигуры (например, для $x$ от 0 до 2) и умножить результат на 2.

На отрезке $[0, 2]$ фигура ограничена сверху параболой $y = x^2 + 1$ и снизу касательной $y = 4x - 3$.

$S = 2 \int_{0}^{2} \left( (x^2 + 1) - (4x - 3) \right) \,dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = 2 \int_{0}^{2} (x^2 + 1 - 4x + 3) \,dx = 2 \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) \,dx$

Можно заметить, что подынтегральное выражение является полным квадратом:

$S = 2 \int_{0}^{2} (x - 2)^2 \,dx$

Теперь вычислим интеграл:

$S = 2 \left[ \frac{(x - 2)^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( \frac{(2 - 2)^3}{3} - \frac{(0 - 2)^3}{3} \right)$

$S = 2 \left( \frac{0^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} \right) = 2 \left( 0 - \frac{-8}{3} \right) = 2 \left( \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3}$

Площадь фигуры равна $\frac{16}{3}$ квадратных единиц.

Ответ: $\frac{16}{3}$