Номер 2, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Проверь себя! - номер 2, страница 166.

Условие.

2. Для функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 3$ найти первообразную, график которой проходит через точку $M(1; -2)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 3$ сначала найдем ее общий вид, который представляет собой неопределенный интеграл от данной функции. Обозначим первообразную как $F(x)$.

$F(x) = \int f(x)dx = \int(3x^2 + 2x - 3)dx$

Применяя правила интегрирования, в частности формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, найдем интеграл для каждого слагаемого:
$F(x) = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3 \cdot \frac{x^{0+1}}{0+1} + C$
$F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C$
$F(x) = x^3 + x^2 - 3x + C$

Это общий вид всех первообразных для функции $f(x)$. Здесь $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

Согласно условию, график искомой первообразной проходит через точку $M(1; -2)$. Это означает, что при $x = 1$, значение первообразной $F(1)$ должно быть равно $-2$. Мы можем использовать это условие, чтобы найти конкретное значение константы $C$.

Подставим координаты точки $M$ в выражение для $F(x)$:
$F(1) = -2$
$(1)^3 + (1)^2 - 3(1) + C = -2$
$1 + 1 - 3 + C = -2$
$-1 + C = -2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $C$:
$C = -2 + 1$
$C = -1$

Найдя значение константы, подставим его обратно в общую формулу первообразной, чтобы получить искомую функцию:
$F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$

Ответ: $F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$