Номер 2, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 2, страница 166.
№2 (с. 166)
Условие. №2 (с. 166)
скриншот условия

2. Вычислить:
1) $\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx;$
2) $\int_{0}^{1} \frac{2}{3x+1} dx.$
Решение 1. №2 (с. 166)


Решение 2. №2 (с. 166)

Решение 3. №2 (с. 166)
1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.
Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \sqrt{x}$. Для этого представим корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
Используем табличную формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
В нашем случае $n = 1/2$, поэтому первообразная $F(x)$ будет:
$F(x) = \int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.
Теперь подставим пределы интегрирования в формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx = \left. \frac{2}{3}x^{3/2} \right|_{1}^{4} = F(4) - F(1) = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - \frac{2}{3}(1)^{3/2}$.
Вычислим значения:
$4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.
$1^{3/2} = 1$.
Подставим эти значения обратно:
$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$.
Ответ: $\frac{14}{3}$.
2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{1} \frac{2}{3x+1} dx$ вынесем константу за знак интеграла и воспользуемся методом замены переменной.
$\int_{0}^{1} \frac{2}{3x+1} dx = 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{3x+1} dx$.
Пусть $t = 3x+1$. Тогда найдем дифференциал $dt$: $dt = (3x+1)' dx = 3dx$. Отсюда $dx = \frac{dt}{3}$.
Найдем новые пределы интегрирования для переменной $t$:
Если $x=0$, то $t = 3 \cdot 0 + 1 = 1$.
Если $x=1$, то $t = 3 \cdot 1 + 1 = 4$.
Теперь подставим новую переменную и новые пределы в интеграл:
$2 \int_{1}^{4} \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{2}{3} \int_{1}^{4} \frac{1}{t} dt$.
Интеграл от $\frac{1}{t}$ является табличным: $\int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + C$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\frac{2}{3} \left. \ln|t| \right|_{1}^{4} = \frac{2}{3}(\ln|4| - \ln|1|)$.
Так как $\ln(1)=0$, а $4>0$, получаем:
$\frac{2}{3}(\ln(4) - 0) = \frac{2}{3}\ln(4)$.
Это выражение можно также преобразовать, используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \ln(a)$:
$\frac{2}{3}\ln(4) = \frac{2}{3}\ln(2^2) = \frac{2}{3} \cdot 2\ln(2) = \frac{4}{3}\ln(2)$. Оба варианта ответа являются верными.
Ответ: $\frac{2}{3}\ln(4)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 166 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 166), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.