Номер 2, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Проверь себя!. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 2, страница 166.

№2 (с. 166)
Условие. №2 (с. 166)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 166, номер 2, Условие

2. Вычислить:

1) $\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx;$

2) $\int_{0}^{1} \frac{2}{3x+1} dx.$

Решение 1. №2 (с. 166)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 166, номер 2, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 166, номер 2, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №2 (с. 166)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 166, номер 2, Решение 2
Решение 3. №2 (с. 166)

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \sqrt{x}$. Для этого представим корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.

Используем табличную формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В нашем случае $n = 1/2$, поэтому первообразная $F(x)$ будет:

$F(x) = \int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Теперь подставим пределы интегрирования в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx = \left. \frac{2}{3}x^{3/2} \right|_{1}^{4} = F(4) - F(1) = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - \frac{2}{3}(1)^{3/2}$.

Вычислим значения:

$4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.

$1^{3/2} = 1$.

Подставим эти значения обратно:

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$.

Ответ: $\frac{14}{3}$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{1} \frac{2}{3x+1} dx$ вынесем константу за знак интеграла и воспользуемся методом замены переменной.

$\int_{0}^{1} \frac{2}{3x+1} dx = 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{3x+1} dx$.

Пусть $t = 3x+1$. Тогда найдем дифференциал $dt$: $dt = (3x+1)' dx = 3dx$. Отсюда $dx = \frac{dt}{3}$.

Найдем новые пределы интегрирования для переменной $t$:

Если $x=0$, то $t = 3 \cdot 0 + 1 = 1$.

Если $x=1$, то $t = 3 \cdot 1 + 1 = 4$.

Теперь подставим новую переменную и новые пределы в интеграл:

$2 \int_{1}^{4} \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{2}{3} \int_{1}^{4} \frac{1}{t} dt$.

Интеграл от $\frac{1}{t}$ является табличным: $\int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{2}{3} \left. \ln|t| \right|_{1}^{4} = \frac{2}{3}(\ln|4| - \ln|1|)$.

Так как $\ln(1)=0$, а $4>0$, получаем:

$\frac{2}{3}(\ln(4) - 0) = \frac{2}{3}\ln(4)$.

Это выражение можно также преобразовать, используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \ln(a)$:

$\frac{2}{3}\ln(4) = \frac{2}{3}\ln(2^2) = \frac{2}{3} \cdot 2\ln(2) = \frac{4}{3}\ln(2)$. Оба варианта ответа являются верными.

Ответ: $\frac{2}{3}\ln(4)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 166 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 166), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.