Номер 2, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Проверь себя! - номер 2, страница 166.

Условие.

2. Вычислить:

1) $\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx;$

2) $\int_{0}^{1} \frac{2}{3x+1} dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \sqrt{x}$. Для этого представим корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.

Используем табличную формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В нашем случае $n = 1/2$, поэтому первообразная $F(x)$ будет:

$F(x) = \int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Теперь подставим пределы интегрирования в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx = \left. \frac{2}{3}x^{3/2} \right|_{1}^{4} = F(4) - F(1) = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - \frac{2}{3}(1)^{3/2}$.

Вычислим значения:

$4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.

$1^{3/2} = 1$.

Подставим эти значения обратно:

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$.

Ответ: $\frac{14}{3}$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{1} \frac{2}{3x+1} dx$ вынесем константу за знак интеграла и воспользуемся методом замены переменной.

$\int_{0}^{1} \frac{2}{3x+1} dx = 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{3x+1} dx$.

Пусть $t = 3x+1$. Тогда найдем дифференциал $dt$: $dt = (3x+1)' dx = 3dx$. Отсюда $dx = \frac{dt}{3}$.

Найдем новые пределы интегрирования для переменной $t$:

Если $x=0$, то $t = 3 \cdot 0 + 1 = 1$.

Если $x=1$, то $t = 3 \cdot 1 + 1 = 4$.

Теперь подставим новую переменную и новые пределы в интеграл:

$2 \int_{1}^{4} \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{2}{3} \int_{1}^{4} \frac{1}{t} dt$.

Интеграл от $\frac{1}{t}$ является табличным: $\int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{2}{3} \left. \ln|t| \right|_{1}^{4} = \frac{2}{3}(\ln|4| - \ln|1|)$.

Так как $\ln(1)=0$, а $4>0$, получаем:

$\frac{2}{3}(\ln(4) - 0) = \frac{2}{3}\ln(4)$.

Это выражение можно также преобразовать, используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \ln(a)$:

$\frac{2}{3}\ln(4) = \frac{2}{3}\ln(2^2) = \frac{2}{3} \cdot 2\ln(2) = \frac{4}{3}\ln(2)$. Оба варианта ответа являются верными.

Ответ: $\frac{2}{3}\ln(4)$.