Номер 4, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Проверь себя!. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 4, страница 166.
№4 (с. 166)
Условие. №4 (с. 166)
скриншот условия

4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=2+4x-x^2$ и $y=x^2-2x+2$.
Решение 1. №4 (с. 166)

Решение 2. №4 (с. 166)


Решение 3. №4 (с. 166)
Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 2 + 4x - x^2$ и $y = x^2 - 2x + 2$, необходимо сначала найти абсциссы точек пересечения графиков этих функций. Для этого приравняем правые части уравнений:
$2 + 4x - x^2 = x^2 - 2x + 2$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$2 + 4x - x^2 - x^2 + 2x - 2 = 0$
$-2x^2 + 6x = 0$
Вынесем общий множитель $-2x$ за скобки:
$-2x(x - 3) = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Эти значения являются пределами интегрирования.
Далее определим, какая из функций принимает большие значения на интервале $(0, 3)$. Для этого выберем любую точку из этого интервала, например, $x = 1$, и вычислим значения $y$ для каждой функции:
Для $y_1 = 2 + 4x - x^2$ при $x=1$: $y_1 = 2 + 4(1) - 1^2 = 5$.
Для $y_2 = x^2 - 2x + 2$ при $x=1$: $y_2 = 1^2 - 2(1) + 2 = 1$.
Поскольку $y_1 > y_2$ на интервале $(0, 3)$, график функции $y = 2 + 4x - x^2$ находится выше графика функции $y = x^2 - 2x + 2$.
Площадь $S$ фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в найденных пределах интегрирования:
$S = \int_{0}^{3} \left( (2 + 4x - x^2) - (x^2 - 2x + 2) \right) dx$
Упростим подынтегральное выражение:
$S = \int_{0}^{3} (2 + 4x - x^2 - x^2 + 2x - 2) dx = \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) dx$
Теперь найдем первообразную и применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left. \left( 6 \cdot \frac{x^2}{2} - 2 \cdot \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{3} = \left. \left( 3x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right) \right|_{0}^{3}$
$S = \left( 3(3)^2 - \frac{2}{3}(3)^3 \right) - \left( 3(0)^2 - \frac{2}{3}(0)^3 \right)$
$S = \left( 3 \cdot 9 - \frac{2}{3} \cdot 27 \right) - 0$
$S = 27 - 2 \cdot 9 = 27 - 18 = 9$
Ответ: $9$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 166 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 166), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.