Номер 4, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Первообразная и интеграл. Проверь себя! - номер 4, страница 166.

Условие.

4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=2+4x-x^2$ и $y=x^2-2x+2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 2 + 4x - x^2$ и $y = x^2 - 2x + 2$, необходимо сначала найти абсциссы точек пересечения графиков этих функций. Для этого приравняем правые части уравнений:

$2 + 4x - x^2 = x^2 - 2x + 2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2 + 4x - x^2 - x^2 + 2x - 2 = 0$

$-2x^2 + 6x = 0$

Вынесем общий множитель $-2x$ за скобки:

$-2x(x - 3) = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Эти значения являются пределами интегрирования.

Далее определим, какая из функций принимает большие значения на интервале $(0, 3)$. Для этого выберем любую точку из этого интервала, например, $x = 1$, и вычислим значения $y$ для каждой функции:

Для $y_1 = 2 + 4x - x^2$ при $x=1$: $y_1 = 2 + 4(1) - 1^2 = 5$.

Для $y_2 = x^2 - 2x + 2$ при $x=1$: $y_2 = 1^2 - 2(1) + 2 = 1$.

Поскольку $y_1 > y_2$ на интервале $(0, 3)$, график функции $y = 2 + 4x - x^2$ находится выше графика функции $y = x^2 - 2x + 2$.

Площадь $S$ фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций в найденных пределах интегрирования:

$S = \int_{0}^{3} \left( (2 + 4x - x^2) - (x^2 - 2x + 2) \right) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = \int_{0}^{3} (2 + 4x - x^2 - x^2 + 2x - 2) dx = \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) dx$

Теперь найдем первообразную и применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left( 6 \cdot \frac{x^2}{2} - 2 \cdot \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{3} = \left. \left( 3x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right) \right|_{0}^{3}$

$S = \left( 3(3)^2 - \frac{2}{3}(3)^3 \right) - \left( 3(0)^2 - \frac{2}{3}(0)^3 \right)$

$S = \left( 3 \cdot 9 - \frac{2}{3} \cdot 27 \right) - 0$

$S = 27 - 2 \cdot 9 = 27 - 18 = 9$

Ответ: $9$