Номер 405, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 1. Математическая индукция. Глава 5. Комбинаторика - номер 405, страница 171.

№405 (с. 171)
Условие. №405 (с. 171)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 171, номер 405, Условие

405. 1) $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2;$

2) $3 + 5 + 7 + \dots + (2n + 1) = n(n + 2);$

3) $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1;$

4) $3 + 9 + 27 + \dots + 3^n = \frac{3}{2}(3^n - 1).$

Решение 1. №405 (с. 171)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 171, номер 405, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 171, номер 405, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 171, номер 405, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 171, номер 405, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 2. №405 (с. 171)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 171, номер 405, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 171, номер 405, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №405 (с. 171)
1)

Левая часть равенства представляет собой сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии, у которой первый член $a_1 = 1$, а $n$-й член $a_n = 2n - 1$.

Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим значения в формулу: $S_n = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$.

Полученный результат совпадает с правой частью равенства, следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Левая часть равенства представляет собой сумму $n$ членов арифметической прогрессии. Первый член этой прогрессии $a_1 = 3$, а $n$-й член $a_n = 2n + 1$.

Воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим значения: $S_n = \frac{3 + (2n + 1)}{2} \cdot n = \frac{2n + 4}{2} \cdot n = \frac{2(n + 2)}{2} \cdot n = n(n + 2)$.

Полученный результат совпадает с правой частью равенства, следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Левая часть равенства представляет собой сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$, а знаменатель $q = 2$.

Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим значения: $S_n = \frac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{2^n - 1}{1} = 2^n - 1$.

Полученный результат совпадает с правой частью равенства, следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Левая часть равенства представляет собой сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии ($3^1, 3^2, \dots, 3^n$). Первый член этой прогрессии $b_1 = 3$, а знаменатель $q = 3$.

Воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим значения: $S_n = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{2} = \frac{3}{2}(3^n - 1)$.

Полученный результат совпадает с правой частью равенства, следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 405 расположенного на странице 171 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №405 (с. 171), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.