Номер 405, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Математическая индукция. Глава 5. Комбинаторика - номер 405, страница 171.
№405 (с. 171)
Условие. №405 (с. 171)
скриншот условия

405. 1) $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2;$
2) $3 + 5 + 7 + \dots + (2n + 1) = n(n + 2);$
3) $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1;$
4) $3 + 9 + 27 + \dots + 3^n = \frac{3}{2}(3^n - 1).$
Решение 1. №405 (с. 171)




Решение 2. №405 (с. 171)


Решение 3. №405 (с. 171)
Левая часть равенства представляет собой сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии, у которой первый член $a_1 = 1$, а $n$-й член $a_n = 2n - 1$.
Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим значения в формулу: $S_n = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$.
Полученный результат совпадает с правой частью равенства, следовательно, тождество верно.
Ответ: Тождество доказано.
2)Левая часть равенства представляет собой сумму $n$ членов арифметической прогрессии. Первый член этой прогрессии $a_1 = 3$, а $n$-й член $a_n = 2n + 1$.
Воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Подставим значения: $S_n = \frac{3 + (2n + 1)}{2} \cdot n = \frac{2n + 4}{2} \cdot n = \frac{2(n + 2)}{2} \cdot n = n(n + 2)$.
Полученный результат совпадает с правой частью равенства, следовательно, тождество верно.
Ответ: Тождество доказано.
3)Левая часть равенства представляет собой сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$, а знаменатель $q = 2$.
Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим значения: $S_n = \frac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{2^n - 1}{1} = 2^n - 1$.
Полученный результат совпадает с правой частью равенства, следовательно, тождество верно.
Ответ: Тождество доказано.
4)Левая часть равенства представляет собой сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии ($3^1, 3^2, \dots, 3^n$). Первый член этой прогрессии $b_1 = 3$, а знаменатель $q = 3$.
Воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
Подставим значения: $S_n = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{2} = \frac{3}{2}(3^n - 1)$.
Полученный результат совпадает с правой частью равенства, следовательно, тождество верно.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 405 расположенного на странице 171 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №405 (с. 171), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.