Номер 405, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 1. Математическая индукция - номер 405, страница 171.

Условие.

405. 1) $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2;$

2) $3 + 5 + 7 + \dots + (2n + 1) = n(n + 2);$

3) $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1;$

4) $3 + 9 + 27 + \dots + 3^n = \frac{3}{2}(3^n - 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Левая часть равенства представляет собой сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии, у которой первый член $a_1 = 1$, а $n$-й член $a_n = 2n - 1$.

Сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим значения в формулу: $S_n = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$.

Полученный результат совпадает с правой частью равенства, следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Левая часть равенства представляет собой сумму $n$ членов арифметической прогрессии. Первый член этой прогрессии $a_1 = 3$, а $n$-й член $a_n = 2n + 1$.

Воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Подставим значения: $S_n = \frac{3 + (2n + 1)}{2} \cdot n = \frac{2n + 4}{2} \cdot n = \frac{2(n + 2)}{2} \cdot n = n(n + 2)$.

Полученный результат совпадает с правой частью равенства, следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Левая часть равенства представляет собой сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии. Первый член этой прогрессии $b_1 = 1$, а знаменатель $q = 2$.

Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим значения: $S_n = \frac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = \frac{2^n - 1}{1} = 2^n - 1$.

Полученный результат совпадает с правой частью равенства, следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Левая часть равенства представляет собой сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии ($3^1, 3^2, \dots, 3^n$). Первый член этой прогрессии $b_1 = 3$, а знаменатель $q = 3$.

Воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим значения: $S_n = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{2} = \frac{3}{2}(3^n - 1)$.

Полученный результат совпадает с правой частью равенства, следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.