Номер 410, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Правило произведения. Размещения с повторениями. Глава 5. Комбинаторика - номер 410, страница 174.

Условие.

410. Сколько разных трёхзначных чисел можно записать с помощью цифр:

1) 6, 7 и 8;

2) 6, 7, 8 и 9?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) 6, 7 и 8;

Для того чтобы составить различные трёхзначные числа из цифр 6, 7 и 8, нужно учесть, что все цифры в числе должны быть уникальными, так как у нас всего три цифры для трёх позиций в числе. Это классическая задача на перестановки.

Рассмотрим позиции в трёхзначном числе:

• На позицию сотен можно поставить любую из трёх цифр (6, 7 или 8). Таким образом, у нас есть 3 варианта.
• После того как одна цифра заняла позицию сотен, для позиции десятков остаются две цифры. Следовательно, есть 2 варианта.
• Для позиции единиц остаётся только одна, последняя неиспользованная цифра. То есть, 1 вариант.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:

$3 \times 2 \times 1 = 6$

Это количество перестановок из 3 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$. В нашем случае $n=3$:

$P_3 = 3! = 6$

Можно перечислить все возможные числа: 678, 687, 768, 786, 867, 876.

Ответ: 6

2) 6, 7, 8 и 9?

В этом случае нам нужно составить трёхзначные числа из набора четырёх цифр (6, 7, 8, 9), при этом цифры в числе повторяться не должны. Это задача на размещения.

Рассмотрим позиции в трёхзначном числе:

• На позицию сотен можно поставить любую из четырёх данных цифр. У нас есть 4 варианта.
• После выбора цифры для сотен, для позиции десятков остаются три доступные цифры. Таким образом, есть 3 варианта.
• Для позиции единиц остаются две неиспользованные цифры. Следовательно, есть 2 варианта.

Общее количество различных трёхзначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$4 \times 3 \times 2 = 24$

Это число размещений из 4 элементов по 3, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=4$ и $k=3$:

$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Ответ: 24