Номер 13, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 13, страница 166.

Условие.

13. Какое уравнение называют уравнением гармонического колебания? Как записывается его решение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Какое уравнение называют уравнением гармонического колебания?
Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых физическая величина (например, смещение, сила тока, напряжение) изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Такие колебания описываются линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.
Это уравнение является математической моделью для физических систем, в которых возникает возвращающая сила, пропорциональная смещению тела $x$ от положения равновесия и направленная в противоположную сторону. Классическим примером является сила упругости пружины, описываемая законом Гука: $F_{упр} = -kx$.
Согласно второму закону Ньютона, $F = ma$. Поскольку ускорение $a$ является второй производной от смещения $x$ по времени $t$ ($a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2}$), мы можем записать:
$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$.
Перенеся все члены в левую часть, получим:
$m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$.
Разделив это уравнение на массу $m$ и введя обозначение для собственной циклической (угловой) частоты колебаний $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$, мы приходим к каноническому виду уравнения гармонического колебания:
$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0$.
Это уравнение описывает свободные (незатухающие) гармонические колебания.

Ответ: Уравнением гармонического колебания называют линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка вида $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0$, где $x$ — колеблющаяся величина, а $\omega_0$ — циклическая частота колебаний.

Как записывается его решение?
Решением уравнения гармонического колебания является функция $x(t)$, которая описывает зависимость колеблющейся величины от времени. Поскольку вторая производная этой функции пропорциональна самой функции со знаком минус, решением является гармоническая (синусоидальная) функция.
Наиболее распространенная форма записи решения имеет вид:
$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi)$
В этой формуле:
• $x(t)$ — значение колеблющейся величины в момент времени $t$;
• $A$ — амплитуда, максимальное значение отклонения от положения равновесия ($A \ge 0$);
• $\omega_0$ — циклическая (угловая) частота, определяющая период колебаний $T$ ($T = 2\pi / \omega_0$);
• $\phi$ — начальная фаза, определяющая состояние системы (значение $x$ и его производной) в начальный момент времени $t=0$;
• $(\omega_0 t + \phi)$ — полная фаза колебаний в момент времени $t$.
Две постоянные, амплитуда $A$ и начальная фаза $\phi$, полностью определяют конкретное движение и находятся из начальных условий (например, из начального положения $x(0)$ и начальной скорости $\dot{x}(0)$).
Эквивалентной формой записи решения является выражение через синус:
$x(t) = A \sin(\omega_0 t + \phi_1)$
или через линейную комбинацию синуса и косинуса:
$x(t) = C_1 \cos(\omega_0 t) + C_2 \sin(\omega_0 t)$,где константы $C_1$ и $C_2$ также определяются начальными условиями.

Ответ: Решение уравнения гармонического колебания записывается в виде $x(t) = A \cos(\omega_0 t + \phi)$, где $A$ — амплитуда, $\omega_0$ — циклическая частота, и $\phi$ — начальная фаза колебаний.