Номер 7, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Вопросы к главе IV. Глава 4. Первообразная и интеграл - номер 7, страница 165.

Условие.

7. Записать формулу Ньютона–Лейбница.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

7. Формула Ньютона—Лейбница, также известная как основная теорема математического анализа, представляет собой ключевое положение, связывающее понятия неопределенного и определенного интегралов. Она гласит, что определенный интеграл от непрерывной на отрезке функции равен разности значений её первообразной на концах этого отрезка.

Для применимости формулы необходимо, чтобы функция $f(x)$ была непрерывна на замкнутом промежутке $[a, b]$, а функция $F(x)$ была для неё первообразной на этом промежутке, что означает, что производная от $F(x)$ равна $f(x)$ для любого $x \in [a, b]$, то есть $F'(x) = f(x)$.

При выполнении этих условий формула Ньютона—Лейбница записывается так:

$\int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

В этой формуле $ \int_a^b f(x) \,dx $ — это определенный интеграл функции $f(x)$ на отрезке от $a$ до $b$. Геометрически он представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и прямыми $x=a$ и $x=b$ (с учетом знака). Величины $a$ и $b$ — это соответственно нижний и верхний пределы интегрирования. Функция $F(x)$ — любая первообразная для $f(x)$. Важно отметить, что результат не зависит от выбора конкретной первообразной, так как любые две первообразные для одной и той же функции отличаются на константу ($F_1(x) = F_2(x) + C$), которая при вычислении разности $F(b) - F(a)$ взаимно уничтожается. Разность $F(b) - F(a)$ также часто записывают в виде подстановки: $ \left. F(x) \right|_a^b $.

Таким образом, эта формула предоставляет мощный и удобный метод для точного вычисления определенных интегралов, сводя задачу к нахождению первообразной и двум подстановкам, вместо сложного процесса вычисления предела интегральных сумм.

Ответ: $ \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) $, где $f(x)$ — непрерывная на отрезке $[a, b]$ функция, а $F(x)$ — её первообразная ($F'(x) = f(x)$).